机械振动第6章非线性振动.ppt

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1、第五章非线性系统的振动5.1非线性振动概述5.2非线性振动问题的主要特点5.3非线性振动问题的研究方法5.4分叉与混沌的概念王卫滨不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线性振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。1、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。单摆（或复摆）的回复力矩自激振动5.1非线性振动概述2、外在的非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函

2、数如如线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理非线性振动方程的一般形式线性振动方程非线性振动方程变质量惯性力非线性阻尼力非线性恢复力非线性激振力5.2非线性振动问题的主要特点(1)非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化(2)对于非线性振动系统,叠加原理不适用对于线性微分方程对于非线性系统(3)非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存在跳跃和滞后现象在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的幅频特性的曲线有反向弯曲。(4)某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不衰

3、减线性系统中自由振动总是衰减的(5)强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度(6)存在多个简谐激振力作用下的组合振动(7)存在频率俘获现象在非线性振动系统中，当系统以振动，受到另一激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获（8）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动5.3非线性振动问题的研究方法一、任意摆角情况下单摆的运动线性系统（数学定义）：若则满足是线性的

4、；为非线性，则★自由单摆的运动方程：线性近似：当很小，(sin)若若为任意值，故自由单摆为非线性振动系统：令，以及，则上式变为而(sin)方程解的非唯一性1.设初始条件为0=，0=0，运动分析：在最高点=，=0，系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：a.停留在该顶点，尔后径直下落；b.调头沿原路返回；c.越过该顶点继续向前运动。则其解为★对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作用的阻尼单摆）：●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。第5章非线性振动5.3.1非线性

5、振动的近似解析方法定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不能获得系统的频率、振幅等基本参数。只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法谐波平衡法谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数相等，得到未知系

6、数的线性代数方程组，解方程组，得到振动系统微分方程傅立叶级数形式的解。讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动：设方程的解可以用周期为T的傅立叶级数表示第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法其中,将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力一起代入动力学方程中，整理各阶谐波的系数，令相同谐波分量的系数相等，就可以得到级数形式解中各个待定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组：解线性代数方程组，得到方程级数解的系数。第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法摄动法讨论带小参数的单自由度非自治

7、系统：其中，e为与变量x，t无关的常数。当e充分小时，系统为弱非线性系统，e称作小参数。当e=0时，上述系统退化为一个派生系统设派生系统的周期解为x0(t)，当观测到原系统也存在周期解时，可以在派生系统周期解的基础上加以修正构成原系统的周期解x(t，e)，并展开为e的幂级数第5章非线性振动5.3.1非线性振动的近似解析方法将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x,)在基本解(x0,)的领域内展开成泰勒级数:第5章非线性振动5.3.2非线性振动的数值分析方法数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在时域内把响应的时间历程离散化，对