2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4幂函数二次函数学案理新人教版.doc

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1、优选第四节　幂函数、二次函数1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较：(3)常见的五种幂函数的图象和性质比较：函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象性质定义域RRR[0，＋∞){x

2、x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在[0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减-14-/14优选公共点(1，1)2.二次函数(1)解析式：一般式：

4、f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)图象与性质：解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)续表值域单调性在x∈上单调递增；在x∈上单调递减在x∈上单调递增；在x∈上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形-14-/14优选1．一个易混点函数y＝ax2＋bx＋c不能盲目认为是二次函数，要注意对a的讨论，a＞0，a＝0，a＜0.2．两个条件：一元二次

5、不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征(1)α＞1时，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y＝x3；(2)0＜α＜1时，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y＝x；(3)α＜0时，图象过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y＝x－1.4．巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图

6、象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型．1．(基础知识：幂函数定义)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)A．B．1C．D．2答案：C2．(基础知识：幂函数的单调性)幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图象过点，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)A.[0，＋∞)B．(0，＋∞)-14-/14优选C．(－∞，0]D．(－∞，0)答案：B3．(基本应用：二次函数的单调性)若f(x)＝x2＋bx＋c的递增区间为[－1，＋∞)，则b＝________．答案：24．(基本能力：幂式不等式)若x＞1，xa－1＜1，则a的取值X围是______

7、__．解析：因为x＞1，xa－1＜1，所以a－1＜0，解得a＜1.答案：(－∞，1)5．(基本方法：数形结合法)设函数f(x)＝则f(x)＞f(1)的x的取值X围为________．答案：(－∞，0)题型一　幂函数的图象和性质　1．(2021·某某某某模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　　)A．－1B．2C．3D．2或－1解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x5，其图象与两坐标轴有交点，不合题意；当m＝－1时，f(x)＝，其图

8、象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝－1.答案：A2．(2021·某某某某模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)-14-/14优选A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，把代入函数解析式中，得2α＝，解得α＝－1，∴幂函数f(x)＝x－1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调递减函数．答案：A3．若(a＋1)－＜(3－2a)－，则实数a的取值X围是________．解析：函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，原不等

9、式等价为或或解得＜a＜或a＜－1.答案：(－∞，－1)∪方法总结1．待定系数法求解析式，主要待定y＝xα中的“α”值．2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．题型二　二次函数的图象与性质　[典例剖析]类型1　二次函数图象[例1]　二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示，图象过点A-14-/14优选(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a

10、－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是