2022年高三毕业班数学（文理通用）常考点与变式演练8函数模型及函数的综合应用（解析版）

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1、专题08函数模型及函数的综合应用专题导航目录常考点01二次函数模型的应用1常考点02分段函数模型的应用3常考点03指数、对数函数模型的应用5常考点04函数模型的比较选择7常考点归纳常考点01二次函数模型的应用【典例1】1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟2.某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现:①销售量r(x)

2、(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系:r(x)=kx+b1,在销售淡季近似地符合函数关系:r(x)=kx+b2，其中k<0,b1,b2>0且k，b1,b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍。请根据上述信息，完成下面问题:⑴写出销售旺季与淡季，销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式。⑵在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件?【答案】1．B2．⑴销售旺季(元)，销售淡季(元)(2)110

3、元/件【解析】1.由题意可知过点（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入中可解得，∴，∴当分钟时，可食用率最大．2.⑴销售旺季(元)，销售淡季(元)⑵在⑴的表达式中，由k<0可知，在销售旺季，当时，利润y取得最大值；在销售淡季，当时，利润y取得最大值。下面分销售旺季与销售淡季进行讨论:由②知，在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润，因此在销售旺季，当标价=140时，利润y取得最大值，此时，b1=-180k,销售量r(x)=kx-180k.令kx-180k=0得x=180，故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格

4、”为120元/件.可见在销售淡季，当标价x=120时，r(x)=kx+b2=0，120k+b2=0,b2=-120k.在销售淡季,当时，利润y取得最大值，故在销售旺季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为110元/件.【考点总结与提高】在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.【变式演练1】1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压

5、．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者(　　)A．10名B．18名C．24名D．32名2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A．B．C．D．【答案】1.B2.D【解析】1.由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，，,故需要志愿者名．故选：B2.设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．常考点02分

6、段函数模型的应用1．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量(单位：百件)关于每件衣服的利润(单位：元)的函数解析式为，则当该服装厂所获效益最大时，（）A．20B．60C．80D．402．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调

7、性，并说明其实际意义．【答案】1.C2.(1),(2)略【解析】1.设该服装厂所获效益为f(x)（单位：元），则当0＜x≤20时，在区间（0，20]上单调递增，所以当x=20时，f(x)有最大值120000．当20＜x≤180时，则令当20＜x＜80时，单调递增，当80≤x≤180时，单调递减，所以当x=80时，f(x)有最大值240000．故选C．2.(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当时，若，即，解得（舍）或；