中线倍长法的应用

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1、中线倍长法的应用例一、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤(AB+AC) 分析：要证明AD﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。 在△ADB和△EDC中， ∴△ADB

2、≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又在△ACE中， AC+CE＞AE ∴AC+AB＞2AD，即AD﹤(AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 (2)在△ACE中，CE－AC﹤AE=2AD,AD>(AB-AC)，∴(AB-AC)﹤AD﹤(AB+AC)(3)∵△ADB≌△EDC(SAS)，∴∠BAD=∠AEC，∠B=∠BCE∴AB∥CE练习： 1、已知：△ABC中，AB=4cm，

3、BC=6cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围。 2、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是() A、1

4、F不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到G，使DG=AD，连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。 5、已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EF∥AB交AD于点F，EF=AC。 求证：AD平分∠BAC 6、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，求证：AB=2BC.7、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC

5、，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM