课前训练（李勇刚）

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1、课前训练（一）——导数的概念与几何意义1、设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C2、设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．3、已知曲线：，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线在点处的切线交轴于点，求的面积的最小值.4、已知曲线（1）求曲线在点（2,2）处的切线方程；（2）求曲线过点（2,2）处的切线方程；（3）求曲

2、线过点（2,-6）处的切线方程；课前训练（二）——导数与函数的单调性1、函数的增区间为，减区间为。2、已知函数的单调增区间为（－2，3）．则函数的单调减区间为3、已知函数．若函数在上单调递增，则正实数的取值范围是4、设均是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）5、已知函数（1）如，求的单调区间；（2）若在单调增加，在单调减少，证明6.课前训练（三）——导数与函数的极值及最值1.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）2、对任意的实数a、b，记．若，其中奇函数y=f(x)在x=l时有极小值-2，y=g(x

3、)是正比例函数，函数与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是A．为奇函数B．有极大值F（-1）且有极小值F（0）C．的最小值为-2且最大值为2D．在（-3，0）上为增函数3、定义在R上的可导函数满足，且当，则的大小关系是()A．B.C.D.不确定4、为定义在区间上的连续函数，它的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（）A.在区间上存在极大值B.在区间上存在反函数C.在处的取得最小值D.以上结论都不对5、若函数在处有极值10，则____________.例1.用数学归纳法证明：时，。解析：①当时，左边，右边，

4、左边=右边，所以等式成立。②假设时等式成立，即有，则当时，，所以当时，等式也成立。由①，②可知，对一切等式都成立。点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。本题证明时若利用数列求

5、和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。  例2.。解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。上式表明当时命题也成立。由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。  例3.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。②假设时，不等式成立，即，那么当时，，∴时，不等式也成立。

6、由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。  例4.若不等式对一切正整数n都成立，求正整数

7、a的最大值，并证明你的结论。解析：取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明，，（1）时，已证结论正确（2）假设时，则当时，有，因为，所以，所以，即时，结论也成立，由（1）（2）可知，对一切，都有，故a的最大值为25。  例5.用数学归纳法证明：能被9整除。解析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假设能被9整除，则∴能被9整除。由（1）（2）知，对一切，命题均成立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，则时∴时也能被9整除。由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增

8、项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。  例6.求证：能被整除，。解析：（1）当时，，命题显然成立。（2）设时，能被整除，则当时，。由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故时命题成立。由（1）（2）可知