【步步高】届高三数学大一轮复习 导数的综合应用学案 理 新人教a版

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1、学案15　导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列

2、出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)A．0≤a<1B．0

3、f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)4．(2011·新乡模拟)函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为______________．5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．11探究点一　求含参数的函数的最值例1　已知函数f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1　设a>0，函数f(x)＝.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．探究点二　用导数证明不等式例2　(2011·张家口模拟

4、)已知f(x)＝x2－alnx(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，x2＋lnxln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.探究点三　实际生活中的优化问题例3　(2011·孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件

5、．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．变式迁移3　甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．11(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙

6、方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例　(12分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.【答题模板】(1)解　∵f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，x>0，∴xf′(x)＝xlnx＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－

7、1，[2分]当00；当x>1时，g′(x)<0，[4分]∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分](2)证明　由(1)知g(x)＝lnx－x≤g(1)＝－1，∴lnx－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[8分]当00，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－

8、x≥0，∴(x－1)f(x)≥0.[11分]综上，(x－1)f(x)≥0.[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想