思维导引——幻方与数阵教案

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1、幻方和数阵图幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。需要掌握的幻方填写方法主要有：1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……)(n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右

2、一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即

3、n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1=4×4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。（见右上图）对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。(做了解即可)1.请你将3~11这9

4、个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。122.请你将1~25这25个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行五个数的和相等。若将上一题的数字换成2~26，请你试着填一填。3.你能不能试着将1~49这49个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行七个数的和相等12数阵图经典精讲数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次

5、数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相互关系，找出问题关键，类型一：封闭类型的数阵图【例1】将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【分析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11，而1+2+…12+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-2

6、1=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。【例1】将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于，请指出的取值范围。【分析】设三角形三个顶点的数字之和为，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+=，化简后为。由于是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9。和有四组取值：通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。像例题中的数阵图

7、，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。一般地，有条边，每条有个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）图，封闭型图有个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和边数类型二：辐射类型的数阵图【例2】将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等。12【分析】设中心○内填，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中一共加了3次，所以1+2