拉氏变换详解

《拉氏变换详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2.常用函数的拉氏变换(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为。(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。数学知识回顾1（3）例3.求指数函数f(t)=的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)23.拉氏变换的基本性质(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。(2)微分性质若，则有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。3证：根据拉氏变换的定义有原函数二阶

2、导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换4(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理，有5即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。6（4）终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限7注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实

3、域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以8b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：9(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即证明：1011二.拉氏反变换1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s

4、)必须是一种能直接查到的原函数的形式。12若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：13例3.142.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和151617（2）情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方程18（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么19202122如果不记公式,可用以下方法求解也可得解。233、线性

5、定常微分方程的求解【例2－6P25】下图中，若已知L=1H,C=1F,r=1,U0(0)=0.1V,i(0)=0.1A,ui(t)=1V.试求电路突然接通电源时电容电压的变化规律。rLCur(t)uc(t)i(t)24解：已求得微分方程为拉氏变换得25代入得根据初值定理、终值定理…26三.传递函数1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。设线性定常系统（元件）的微分方程是27c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函

6、数为：分母中S的最高阶次n即为系统的阶次。28因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即,若m>n,我们就说这是物理不可实现的系统。是传递函数的极点。的根是函数的零点，的根，称为传递是0)()2,1(0)()2,1()())(()())(()()()(210210======------==sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinmLLLL292.性质(1)传递函数与微分方程一一对应。(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数

7、，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）(3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。(4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。(5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。30例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律消去中间变量，则微分方程为：31可用方框图表示例2.双T网络对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：32解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：方程组两边取零初始条件下的拉氏

8、变换得：3334方法二：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：35传递函数的基本概念例１[例2-9P31]求电枢控制式直流电动机的传递函数。[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令，得转速对电枢电压的传递函数：令，得转速对负载力矩的传递函数：最后