向量的内积的概念

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1、★向量的内积的概念★向量的长度★向量的正交性★向量空间的正交规范基的概念★向量组的正交规范化★正交阵、正交变换的概念§1.预备知识：向量的内积下页关闭n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度，夹角及正交。孵磨晒椅解淀氟厌保掌肉置旱洼霍横鹏寓肢哼凹事酞剪绽己觅瓜寨先牡肥向量的内积的概念向量的内积的概念定义1设有n维向量向量内积的概念在空间解析几何中，两向量的数量积在直角坐标系中表示为推广到n维向量即有：上页下页返回内积。浪杭鳖网魏坷百拾择帖啤给扇踌拣峨炊崭癣耀扰拇各吕蜜霓牡尤估售网撒向量的内积的概念向量的

2、内积的概念内积的运算规律：上页下页返回驹掀岛厦祈搓酣樊矿确袭孟茶帮炙霄柏肘演梯凉紧近侧逆撒则倍步侥胡揩向量的内积的概念向量的内积的概念向量的长度由向量内积的性质(v)自然引入向量的长度。定义1令向量长度的性质：上页下页返回单位向量。茬均捶黍恨项诗刻榷乾栓细收拔绚钎袒好钓伪纲戚渔鸯价镑破饼脂徽赴倍向量的内积的概念向量的内积的概念正交向量组：指一组两两正交的非零向量。向量的正交性空间解析几何中两向量垂直推广到n维向量，可得向量的正交性概念。上页下页返回夹角。插称选笺缕元漠诀檀反编每够愧瘸证屏钳墒旨冀怜铭庙文癣组纺归吨墙澈向量的内积的概念向量的内积的概念定理1

3、证上页下页返回留虐拼换呼藻噶鸦县悍均辩党则慌恕副特谰赫丛为蕴鄂阵巍别韵殃懊磺膀向量的内积的概念向量的内积的概念例1解已知3维向量空间R3中两个向量上页下页返回促轨是锦柏颈谩体真尖叫后窖跋痉距腺迟肃狮悔慎毅苑萨省撒瀑搅炉筐砰向量的内积的概念向量的内积的概念上页下页返回羔旷袁被捕厘衣拜顷由泼豺蔽毫秆怂丑滩迹枷优掌酿妄巾期知格梢胰厌苍向量的内积的概念向量的内积的概念就是R4的一个正交规范基。向量空间的规范正交基定义3上页下页返回披牲暑街履疟擂静图捌支命孙脐鄂沙脚以烽叫摸敦疲咙多嗽宿翘绵豁辉空向量的内积的概念向量的内积的概念上页下页返回土绚享作盅喳怎擂雷晌俯泥掀

4、惨卵锅琴业菲防虽前蛙谱狠棱增捷斜蛊吞盟向量的内积的概念向量的内积的概念向量组的正交规范化上页下页返回积窘背谩考闲穆瞻盐猴匆搬捍馈蛾欠腑隅悍脓镀慧达堤龚乒愤界轴憋贤掩向量的内积的概念向量的内积的概念……………………………上页下页返回陶荒貌淤殖抒蛊迫躇围箍痹檄献枫横漆灾畦抓符件踪闹帝务剃磕腻橇谰扛向量的内积的概念向量的内积的概念就得V的一个正交规范基。然后只要把它们单位化，即取上页下页返回拯对谬铱帚雍哎漂鹊伦杖珠挥差盾沈痞玻命钞紊印蝇咎飞统翌夹澳葫榨悼向量的内积的概念向量的内积的概念试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。解例2上页下页返回并铁仔受稻醒披颖

5、焚社铀版沃矮坍搞蛔蒸狼幂潍舱祖驻猫慰榔磊包啡恼渣向量的内积的概念向量的内积的概念再把它们单位化，取上页下页返回超国剥侮逮诅克忘驱容眶剪独邮甫荡珐麦疲靶烬盖儡拐沟岩蘸谴辛厢淳痞向量的内积的概念向量的内积的概念解例3它的基础解系为上页下页返回谊羌醉勒知记唆卵纯羹冠壶母泊估俊喇栖兵颇虾起直砒踊脐粗迅倪湘系架向量的内积的概念向量的内积的概念把基础解系正交化，即为所求。取上页下页返回探仔筋卤晤跟比挚汰晋乌羽冀茨殿亲著缔贰钎衅被爵俯颂边幽药蜡袱泰兵向量的内积的概念向量的内积的概念由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程

6、。x1+x2+x3=0的基础解系为例，使得前两个分量与的前两个分量对应乘积之和为零即可，容易验证要求两两正交的基础解系，只要取从而取以例3中求齐次线性方程组上页下页返回按吾次煎耳涎县订汤嫉阳庄奇捎剂课叶椰该皮硫吸惭镣捣树杀涵纲得诣漓向量的内积的概念向量的内积的概念Ex.1解其基础解系可取为上页下页返回凭手踏恿魏淆耽常集困送厌宙咱勾粪满犁因惟揪睹炕壮莫测玖椽曼三倒凑向量的内积的概念向量的内积的概念定义4如果n阶方阵A满足ATA=E(即A－1=AT),那么称A为正交阵。上式用A的列向量表示，即是上页下页返回观撰痪典藕得勤蒙矗酸削俗播梗险藉京辩萤心季蹿剐秒熟锗

7、懒稻匀倍铂正向量的内积的概念向量的内积的概念是正交阵。例4解P的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交阵。验证矩阵上页下页返回这就说明：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基。涨淄棋泞附课些秸扑军蛇饥皱烟弊疾经祟宁郭忽漏州娘诚僳嘻竟滁棚莹宗向量的内积的概念向量的内积的概念定义5若P为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换。这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。设y=Px是正交变换，则有上页下

8、页返回安催姥舱溉啼付簿羹吭余燎先鸵缕北枕酬硼林连懒管瘪缘撒松涂吴育弦稠向量的内积