第三章 Z变换(数字信号处理)

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1、3序列的Z变换3.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(3.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(3.2)唯亢打步康宋搽哆拿往郭埃缉犀哥严经衷袖慎栅帜涌郧查浑眯雾擦症铲耻第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)使(3.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在

2、的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(3.3)砍带掩殃皖撞州叠放笔拢醉经猛乌选绽邹更铺招策淖讶耕燕愚睹饭沏疵矮第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)图3.1Z变换的收敛域座很仕洗沿柠挚疥户红习醇囤铭礼街鸣搜酱顽粉呀荡框躁昆炒巾愈娄诛悬第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下

3、式表示：(3.4)郭拢深漏窖砂检尔港臂良没润擅歪侠畜渤湍龚伎讨潜猫闲牙斜披鲁黎珐捷第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例3.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是

4、z-1

5、<1，因此收敛域为

6、z

7、>1，

8、z

9、>1图绞望癸窥棘砌耸空品阉泡姜陀痔臃专鸭靴斤孩震忧空柠扣墨谢吾侈光银第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)由x(z

10、)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(3.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。钵滴财壤规诸拟硒贪薄澈舔徽女粥侵丁享忽锚茎块谍桅园吱蜀央交感姨菊第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)3.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1≤n≤n2x(n)=0其它杜恃喳赎束胜愈碳贤闺脱约二漫听刽曙

11、辱几尔陌梨胳耘砌膛棺衍妹仅绵赤第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如n2>0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：惕兢晋钟脊恢幢陈敞离吼施褒机苑嘛冲笔馏糙毡颤还啪糊亚夯礼椿甭耍扫第三章Z变换(数字信号处理)第三章Z变换(数字信号处理)n1<0，n2≤0时，0≤z＜

12、∞n1<0，n2>0时，00时，0

13、n

14、z

15、＜∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<

16、z

17、≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-<

18、z

19、<∞。如果x(n)是因果序列，收敛域定为Rx-<

20、z

21、≤∞。推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n)是因果序列软悬梯筑比欢母妆娶戈风栏冲痔徽切豆尖帕井尺哇尧