平面向量的内积教案

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1、平面向量的内积【教学目标】知识目标:(1)了解平面向量内积的概念及其几何意义.(2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标:通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力.【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.【教学设计】教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量,而功是数量.因此,向量的内积又叫做数量积.在讲述向量内积时要注意:(1)向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定;(2)向

2、量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中:(1)当=0时,a·b=

3、a

4、

5、b

6、;当=时,a·b=-

7、a

8、

9、b

10、.可以记忆为:两个共线向量,方向相同时内积为这两个向量模的积;方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数.(2)

11、a

12、=显示出向量与向量的模的关系,是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础;(3)cos=,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础;(4)“a·b=0ab”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示的重要基础.【教学备品】教学课件.【课时安排】

13、2课时.(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3平面向量的内积*创设情境兴趣导入Fs图7—21O如图7-21所示,水平地面上有一辆车,某人用100N的力,朝着与水平线成角的方向拉小车,使小车前进了100m.那么,这个人做了多少功?动脑思考探索新知【新知识】我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.如图7-22所示,设水平方向的单位向量为i,垂直方向的单位向量为j,则i+yj,即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s,即W=|F|cos·|s|=100×·10=500(J)OxijF(x,y)yBAO图7-23

14、ab这里,力F与位移s都是向量,而功W是一个数量,它等于由两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量,又叫做数量积.如图7-23,设有两个非零向量a,b,作=a,=b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角,记作.两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b,即a·b=|a

15、

16、b

17、cos       (7.10)上面的问题中,人所做的功可以记作W=F·s.由内积的定义可知a·0=0,0·a=0.由内积的定义可以得到下面几个重要结果:(1)当=0时,a·b=

18、a

19、

20、b

21、

22、;当=时,a·b=−

23、a

24、

25、b

26、.(2)cos=.(3)当b=a时,有=0,所以a·a=

27、a

28、

29、a

30、=

31、a

32、2,即

33、a

34、=.(4)当时,ab,因此,a·b=因此对非零向量a,b,有a·b=0ab.可以验证,向量的内积满足下面的运算律:(1)a·b=b·a.(2)()·b=(a·b)=a·(b).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例1已知

35、a

36、=3,

37、b

38、=2,=,求a·b.解a·b=

39、a

40、

41、b

42、cos=3×2×cos=3

43、.例2已知

44、a

45、=

46、b

47、=,a·b=,求.解cos===−.由于0≤≤,所以=.*理论升华整体建构思考并回答下面的问题:平面向量内积的概念、几何意义?结论:两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b,即a·b=|a

48、

49、b

50、cos(7.10)a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积.知识典型例题例3求下列向量的内积:(1)a=(2,−3),b=(1,3);运用知识强化练习1.已知

51、a

52、=7,

53、b

54、=4,a和b的夹角为,求a·b.2.已知a·a=9,求

55、a

56、.3.已知

57、a

58、=2,

59、b

60、

61、=3,=,求(2a+b)·b.动脑思考探索新知设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),i,j分别为x轴,y轴上的单位向量,由于i⊥j,故i·j=0,又

62、i

63、=

64、j

65、=1,所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i•i+x1y2i•j+x2y1i•j+y1y2j•j=x1x2

66、j

67、2+y1y2

68、j

69、2=x1x2+y1y2.这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2   (7.11)利用公式(7

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