根轨迹法习题及答案

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1、第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为试证明在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。解若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图所示。对于，由相角条件满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：解出：，4-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出时系统的闭环传递函数。（1）（2）解(1)(2)=4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。解根轨迹如图。时，4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。⑴(2)(3)(4)解⑴三个开环极点：,,

2、①实轴上的根轨迹：,②渐近线：③分离点：解之得：，(舍去)。④与虚轴的交点：特征方程为令解得与虚轴的交点（0，）。根轨迹如图所示。⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：,②分离点：解之得：。根轨迹如图所示。⑶根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：,②渐近线：③分离点：用试探法可得。根轨迹如图所示。(4)根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：[0,1],[-1,-2]②分离点：求解得：根轨迹如图所示。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为要求：(1)绘制系统的根轨迹；(2)确定系统临界稳定时开环增益k的值；(3)确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。解(1)①实轴上的根轨迹：[0,-50],[-100,

3、-]②分离点：求解得③渐近线：根轨迹如图所示。(2)系统临界稳定时(3)系统临界阻尼比时4-6已知系统的开环传递函数为，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。解①实轴上的根轨迹：②渐近线：③分离点：解之得：。④与虚轴交点：把代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：解得：⑤起始角：由相角条件，。根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时所以4-7单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。解：根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：②渐近线：③与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，令解得：，根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的值

4、范围为。4-8已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。解根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：②渐近线：③分离点：解之得：(舍去)④　与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，令解得：⑤　起始角：解出根轨迹如图所示。4-9已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。(1)，；(2)，解(1)①实轴上的根轨迹：②渐近线：③分离点：根轨迹如图所示。(2)①实轴上的根轨迹：②起始角终止角：解得起始角解得终止角根轨迹如图所示。4-10已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。解①实轴上

5、的根轨迹：②分离点：，③渐近线：，④与虚轴交点：，根轨迹如图所示。，，结论：时所有根为负实根，时系统稳定。4-11已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数变化时系统的根轨迹，并分析参数的变化对系统动态性能的影响。解：作等效开环传递函数根轨迹绘制如下：（注意：①实轴上的根轨迹：,②分离点：解得。根据幅值条件，对应的。③虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：解得：④起始角：参数从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)从根轨迹图可以看出，当时，系统阶跃响应为单调收敛过程；时，阶跃响应为振荡收敛过程；时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。若取另外

6、一种等效开环传递函数则解题步骤如下：三条根轨迹中两条起于-10，一条起于，均终止于原点①实轴上的根轨迹：,②分离点：解得。其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。4-12控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹()。解此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。①实轴上的根轨迹：,②分离点：解得③起始角：根据相角条件，得，，。根轨迹如图所示。4-13设单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的值。解由开环传递函数的表达式知需绘制根轨迹。①实轴上的根轨迹：；②分离点：解得：,将,代入幅值条件得：,

7、③与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：解得：根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆。系统产生重实根的为0.54，7.46，产生纯虚根的为2。