物理习题中的辅助圆

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1、习题研究巧构辅助圆妙解物理题浙江海盐元济高级中学（314300）王建峰浙江海盐高级中学（314300）马永芬解物理习题时，若能巧借辅助圆，将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。1矢量圆ADvuv1图1Lθ矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。例1一条宽为L的河流，水流速为u，船在静水中划行的速度为v，且v＜u。要使船到达对岸的

2、位移最短，船的航向如何？解析水流速u、船在静水中的速度v与船的合速度v1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。显然，当AD与矢量圆相切时，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角。图2R2等时圆如图2所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑，其下滑的时间相等，且时间（R为圆环的半径，g为重力加速度），这样的圆环称之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。例2两光滑斜面的高度都为h，OC、OD两斜面的总长

3、度都为l，只是OD斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？BDC甲乙图5AOODC甲乙图3图4tvt乙t甲VC解析（解法1）本题往往采用v-t图象求解，作出物体分别沿OC、OD斜面运动的v-t图象（如图所示4），由图象可得乙球先到达斜面底端。（解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC于A点，交OD于B点。由“等时圆”可知，。由机械能守恒定律可知：，，所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，，所以有，即乙球先到达斜面底端。3等势圆点

4、电荷的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化难为易。例3（2002年江苏等省理综第30题）如图6所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC长为32L，ABCO。D图6ABCQD图7处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v。则：该质点运动到非常挨近斜边底端C点时速度vc为多少？没斜面向下的加速度ac为多少？解析点电荷沿斜面AC下滑时，电场力在不断变化，无法利用动能定

5、理及能量守恒关系直接列式求解，从而使解题陷入困境。图8N由几何关系可引入图7所示的等势圆，由于D、C二点位于同一等势圆上，电荷从D运动到C电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在D点的机械能与C点的机械能相等，即：对电荷在C点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得：，解得：。图9xyoα4动态圆带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆”，构建系列动态圆能化俗为奇。例4半径为R=10cm的圆形匀强磁场，区域边界与y轴相切于坐标原点，磁感应强度B=0.332T，

6、方向垂直纸面向里。在原点O处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均为的α粒子，已知已知α粒子的质量为，电量，试确定α粒子通过磁场的最大偏向角。解析α粒子在磁场中作半径为r的匀速圆周运动，可得：从而可构建一系列半径为20cm并交于O点的旋转动态圆（如图9所示），由各动态圆不难得到要使α粒子的偏向角最大，必然α粒子在磁场区域内的弦最长。图10r1R1R2所以α粒子的最大偏向角例5核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图

7、10所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。3解析（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，构建如图10所示的半径不同的动态圆，要使粒子不

8、能穿越磁场，从各动态圆中不难得到粒子的临界动态圆必须与外圆相切。图11O1O2由图中知，解得由得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。（2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的动态圆，在所有动态圆中粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，则以V2速度沿各方向射入磁场区的