矩阵及其运算课后习题答案

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1、第二章 矩阵及其运算课后习题答案1.已知线性变换:求从变量到变量的线性变换.解由已知:故2.已知两个线性变换求从到的线性变换.解 由已知所以有3.设,求解214.计算下列乘积:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5.设,,问:(1)吗?(2)吗?21(3)吗?解(1),.则(2)但故(3)而故6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若,则;(2)若,则或;(3)若,且,则.解(1) 取,,但(2) 取,,但且(3) 取,,.且但.7.设,求.解;利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8.

2、设,求.解首先观察,21由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立,则时,由数学归纳法原理知:9.设为阶矩阵,且为对称矩阵,证明也是对称矩阵.证明  已知:则从而也是对称矩阵.10.设都是阶对称矩阵,证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明  由已知:充分性:即是对称矩阵.必要性:.11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);(2);(3);(4)解(1),..(2)故存在21从而(3),故存在故(4).由对角矩阵的性质知12.解下列矩阵方程:(1) ;(2) ;(3) ;(4) .解(1) (2) (3) (4) 13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)(2)21解  

3、(1) 方程组可表示为故从而有(2)方程组可表示为故故有14.设(为正整数),证明:.证明  一方面,另一方面,由有故 两端同时右乘就有15.设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明  由得两端同时取行列式:即 ,故 .所以可逆,而故也可逆.由又由16.设为3阶矩阵,,求。解因,故可逆,于是由21==及=,得=-=,两端取行列式得===-2.17.设矩阵可逆,证明其伴随阵也可逆,且。证因=,由的可逆性及,可知可逆,且=;另一方面,由伴随阵的性质,有=.用左乘此式两边得===,比较上面两个式子,即知结论成立。18.设阶矩阵的伴随矩阵为,证明:(1) 若,则;(2) .证明

4、(1) 用反证法证明.假设则有.由此得.这与矛盾,故当时,有.(2) 由于取行列式得到:若则若由(1)知此时命题也成立故有19.设,,求.解  由可得故20.设,且,求.解由方程,合并含有未知矩阵的项,得。又,其行列式-1,故可逆,用左乘上式两边,21即得=21.设,,求。解由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵,因此仍从公式=着手。为此,用左乘所给方程两边,得,又,=2AB-8E=8E=4E.注意到==,是可逆矩阵,且=,于是=4=.22.已知矩阵的伴随阵,且,求。解首先由来确定,由题18知==8,故=2,其次化简所给矩阵方程:。(用左乘式两边)(因=)=6(因()可逆

5、)23.设,其中,,求.解  故所以而21故24.设,其中,,求.解因=-6,故可逆,且可求得从而有=.又因为==所以===25.设矩阵A、及都可逆,证明也可逆,并求其逆阵。证要证可逆,由于无法直接寻找一个X,使()X=E,所以,考虑把用“和化积”思想表示乘可逆矩阵的乘积。因A、已及都可逆,,,于是====这样,已表示成上最后一个等号三个可逆矩阵的乘积,于是可逆,由可逆矩阵的性质,有===.26.计算解=27.取,验证.检验:21而 ,故 28.设,求及解 ,令,.则.故..29.设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求.解将分块为.其中,为矩阵,为矩阵.为矩阵,为矩阵.则由此得到

6、故.30.求下列矩阵的逆阵:(1)(2)解(1)这里矩阵是一个分块对角矩阵,其中=,=。21因=,=,故得=(2)记所给矩阵为,伴随矩阵为=,其中为的代数余子式。令,,,则,,-=于是,由第29题之(2)的结果,得=。21

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