微分中值定理的研究和推广学位论文

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1、目录引言1一、中值定理浅析11、中值定理中的12、中值定理中条件的分析2二、微分中值定理的推广41、微分中值定理在无限区间上的推广42、中值定理矢量形式的推广73、微分中值定理在n维欧式空间中的推广94、中值定理在n阶行列式形式的推广125、高阶微分中值定理15结束语19参考文献19微分中值定理的研究和推广摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来

2、研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。关键词：微分中值定理，无限区间∫∫∫，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。20引言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析1、中值定理中的由中值定理可知，当满足条件时，在开区间内至少存在一点满足方程的结论

3、，并没有说有多少个这样的，也没有告诉它的确切位置，但这并不影响中值定理在数学中的应用，因为通常是在导数有界的条件下应用中值定理。2、中值定理中条件的分析以罗尔定理为例，我们知道，罗尔定理的3个条件。[1]（1）在闭区间上连续。（2）在开区间内可导。（3）这三个条件必须同时成立，缺少其中之一便不成立。例如：函数在上连续（如图1）在内不可导（如图2）（如图3）201Oy1x1O-11yxxy1O1图1图2图3从这三个函数图象可见，罗尔定理都不成立，尽管如此，也不能说这三个条件就是其成立的必要条件。例如：函数在闭区间上连续，在开区间内不可导，，即罗尔定理的3个条件都不成立，但是

4、在开区间内存在一点，满足，这说明，罗尔定理的3个条件都是充分条件，同理，拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似。另外，中值定理中开区间可导，也不宜改为在可导，函数在闭区间上可导，这一条件不仅包含了“闭区间上连续，开区间可导”这两个条件，而且比这两个条件对函数的要求更加严格，即要求函数在点存在右导数，在点存在左导数，从而满足中值定理的条件的函数要比原来少。例：函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，满足罗尔定理的条件，因此，在开区间内至少存在一点，使显然=0∈但是，函数在闭区间上并不可导，因为导数20分别在与的左右导数都不存在。由此可见，如果罗尔定理的条件换成函数在闭区间上可

5、导，且，那么，对函数在闭区间上就不能用罗尔定理，这样就缩小了定理的适用范围。因此，中值定理的条件不宜替换，即在闭区间连续，在可导，函数在开区间内可导，则函数在开区间内连续，它被包含在“函数在上连续”之中，为使这两个条件相互独立，可改为在开区间内可导，函数在点右连续，在点左连续，但行文繁，所以为了简便，将条件写为“在闭区间上连续，在开区间内可导”。二、微分中值定理的推广1、微分中值定理在无限区间上的推广[2]以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的，为此，我们设想将有界空间推广到无限区间。例1求证：如果函数满足（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。那么在内至少

6、存在一点使得证明：令，即当时，20，令则所以在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知：在内至少有一点使得记，有，而，故在内，至少有一点，使得例2证明：如果函数满足（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。则在内至少存在一点，使得证明：令则，与成立令在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，在内至少存在一点使得，记，则有，从而有例3已知函数满足如下条件20（1）在区间上连续。（2）在区间上可导。（3）。求证：在内至少有一点，使得证明：令，即当时，，，令则在区间上连续，在内可导。由拉格朗日中值定理知，在内至少有一点使得即记有而故在内至少有一点，使得即2、微分中值定理在n维欧式空

7、间中的推广[4]首先，给出几个有关的记号20设：，即记i()为集合的内部，即集合的内点的集合。定义1设：，若对于任意的,,，存在则称函数在点处可导并记：称为函数在点处的导算子。定理：设函数：，为中有界闭区域在上连续，在内可导，且/，则至少存在一点，使得证明：因为为有限维空间中的有界闭区域，故为中紧子集，又在上连续，所以在上有最大最小值，由于/，则最值中至少有一个在内取得，设在20处取得最小值，则对于任意的，从而证毕。根据此定理，我们来看下面几个例题。例1设：，为中有界闭区域，在上连续过内可导，且存在一点，使得=，其中C为常数。