微分形式及其应用

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1、微分形式及其应用1引子两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？比如，，它们之间就有关系，这很明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式，因此它们相关，互为函数关系。对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如，要想判定他们是否互为函数，就要判定，，都为0才对。有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释）好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。，这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。我们重新理解一下（见图）如果将作为两个变量，则组成空间。作为的函数，当改变时，也随之

2、改变。当函数互不关联（不互为函数时），由于各自独立改变，当遍历一个非常小的方形区域时，也形成一个小面积。但是当函数互为关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当遍历一个非常小的方形区域时，仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。由于就代表面积元，因此为0.可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！2微分形式我们看在二维空间上的一个线积分是定义的一段曲线（在这里是半圆弧线）。可以很容易积分出来如果换一条曲线，会得到另一个值。比如，如果是定义的一段抛物线，可得积分如果不定义曲线，这个积分则不能得到具体的数值。因此，可以认为这个积分是曲线的函数，也就是说，给定

3、一条曲线，它就能给出一个值。我们称它为积分形式。（只有形式，等待内容——曲线）如果去掉积分号我们则称其为微分形式（只有形式，等待内容——曲线或1维的映射）。给定一个映射，如，我们就能计算这个微分我们称映射将二维空间上的微分形式，拉回到1维空间上。微分形式是与坐标无关的。也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其积分值是不变的。同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其微分是不变的。这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律（物理方程）用微分形式表达非常简单漂亮。3微分形式的外积我们看面积分，给定一个面，就可以计算这个

4、积分。但是这个表达式有一个缺憾，就是对于复杂表达，如定义模糊。我们看变换变量时，这个表达式变为，其中是变换的Jacobi行列式。因此我们将其表达为，规定对于任何表达式，都要满足，则变量改变就可以名正言顺地写为刚好满足变量变换的关系。这样我们类推地定义外积：我们知道一个微分形式（1-形式）描述了一个线形式。可以推理，两个1-微分形式，可以构造出面形式（2-微分形式）。如果两个1-微分形式外积为0，这两个微分形式相关，即存在某个函数使得4外微分给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式？可以通过外微分。我们定义一个微分形式的外微分，与这个微分形式的闭合回路积分有关。对于无

5、穷小面元，有其边界组成的闭合回路具体地5微分形式的应用1．函数是常函数2．函数极值点表明自变量改变时，函数值不变。比如，，得到。如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为一点。非奇异点处奇异点处函数值空间函数值空间自变量空间自变量空间3．两个函数相关（这在引子中给出了）如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2维的空间）。Xfg3个函数相关其他以此类推。4．条件极值即在情况下计算的极值。通常用Lagrange乘子法，这里可以用微分形式表达式。在极值点附近区域映射为线。Xfg非奇异点处奇异点处比如在约束，情况下计算的极值点

6、。因为所以得到，与Lagrange乘子法计算的一致，但是方程简单。多个约束以此类推，如两个约束极值问题,在情况下计算的极值,就可以按照下面方程给。1．计算偏导数问题在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。采用微分形式可以方便地计算。热力学中只有两个自由参数。利用等关系定义变量间关系。将其外微分，得到那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如，两边除以可以得到可以得到对任意一个等式，都可以改变自变量如外微分后除以可以得到三对换关系就是求导换自变量比如方便得很1．正交曲线坐标系的求导公式形式地写作，可以特解，其齐次方程的解满足的解为根据微分关系记忆很容易,系数反对称化是的要求例

7、如球坐标系根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接计算。记住这个公式，需要借助立体图。图中画出了点及经过其点曲面坐标的三个单位矢量；改变形行成的大圆弧，改变形成的小圆，改变形成通过坐标原点的射线。改变不会影响这些方向。每个单位矢量在这些变化中，形成的图形：大圆，小圆，上椎体，下椎体。（1）当改变时，是大圆的径向，变化量为大圆半径为1时对应的弧长，大圆切线方向；当改变时，是下椎体母线方向，改变量为母线长度为1时对应椎体边弧长，方向小圆切线方向；（2）当改变时，是大圆切线方向，改变向心方向；当改变