探究二项式定理的教学案例

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1、探究二项式定理的教学案例作者：周婧工作单位：九十六中学5探究二项式定理的教学案例《二项式定理》是全日制普通高级中学数学第二册第十章第四节的一个重要内容。二项式定理的推导是该节的第一课时，其传统教法比较呆板、单调，课本上先给出一个用组合知识来求展开式系数的例子，然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，繁琐的推导过程必然让学生感到被动，其结果认知水平较低，并非真正意义上的主动构建。那如何才能使学生获得主动呢？针对以上问题，我在教学中作了如下探索。一、探究过程老师:4个容器中有红、白小球各1个，每次从4个容器中取出1个球，有什么样的取法？各种取法有多

2、少种？学生:取法及取法种数有：都不取白球(全取红球):(=)红红红红；取1个白球(1白3红):(=)白红红红；取2个白球(2白2红):(=)白白红红；取3个白球(3白1红):(=)白白白红；取4个白球(不取红球):(=)白白白白。老师:取法种数再次验证了组合数的什么性质?学生:(=)老师:利用多项式的乘法法则,写出，，展开后未合并同类项前的式子。学生：(很快写出，的展开式，对于，因运算量较大且容易重复与遗漏项数，学生花了较多时间)。)(试验结束后，好多学生长长地松了一口气，感觉运算量很大，5有些学生开始埋怨老师设计这么无聊的题目，大部分学生产生

3、了寻求简便方法的求知欲望，有些学生还开始了尝试。这时教师抛出几个问题，要求学生先独立思考，然后分组合作讨论。)问题1：展开后的aa+ab+ba+bb中的每一项的两个因子分别来自哪里？(分别来自第一、二两个括号一次因式)问题2：换句话说，展开式中的每一项都是怎样构成的？(分别从第1个(a+b)与第2个(a+b)中取出一个字母相乘构成)问题3：展开式中各项的次数为什么都是2？(因每一项都从两个因式中各取一个字母，共两个字母相乘所得)问题4：展开式未合并前共有几项?(4项)(对于与同样设计以上4个问题。)(学生分组讨论后，很快解决教师设计的几个问题。

4、)老师:有没有什么办法会使展开式各项不重复或遗漏？学生(学生因有上面的基础,有学生很快回答):用树形图。老师:很好!这样就不会重复与遗漏.数数看是否有16项?写出合并后的结果。学生:（很多学生发现:这个乘法展开与红白小球的取法是类似的。）老师:哪位同学能把它解释得更明确点?学生(主动站起):如,即在4个(a+b)的因式中取出4个a，有个；即在4个(a+b)的因式中取出3个a,自然留下1个b，共有个⋯⋯5老师:很好!我们同学通过自己的发现,寻求出了展开式各项系数的特点,那能否从b的个数来解释各项的系数呢?学生(全体):能!老师:哪位同学来试一下。

5、学生:在4个因式取出0个b，自然留下4个a，有个；取出1个b,自然留下3个a，有个；取出2个b，自然留下2个a，有个；⋯⋯由组合数的性质知:=，=,⋯⋯与取a的方法是一致的。老师:太棒了，下面同学来讨论的展开式。(由于学生通过学生自己的试验、发现，已主动构建起了展开式系数的特点，归纳的展开式，十分容易，好多男生就不肯动手，满脸自信地看着老师，老师叫一名未动笔的同学回答，该同学很快给出正确答案.)老师:下面同学来归纳的展开式。(解决这个问题，学生就很轻松了。到这里，学生也明白了老师为什么课前设计这么“无聊”题目的用意了，大部分学生很佩服教师的设计

6、，同时，也为自己的探究结果高兴与自豪。此时离下课只有5分时间了。)老师:观察二项式的展开式,归纳出各项次数与二项式指数的特点，归纳出各项系数的特点。学生(学生很快完成，正确率较高)老师:展开。如不进行合并有几项，各项系数为多少？5学生(齐):2n项,系数均为1。老师:合并后的各项系数分别为多少？学生:，，，⋯，，学生:(恍然大悟,又有新发现):+++⋯+,=2n(这个公式在组合数中曾用不完全归纳得出过，证明要学生回去思考，学生一直未解决，故有恍然大悟的感觉)。这时,下课的铃声响了。通过本次教学，强调学生的合作意识与参与过程，学生始终处于主体地位

7、，教师仅作一些点拨，使他们学会一点科学研究的方法，体验一下科研攻关的乐趣，受到一些科学精神的熏陶有较好的教学效果。二、教学反思长期以来，数学的定理、公式等结论总是以逻辑推理的形态出现，所以导致了人们看不到它被发现、创造的艰难历程，也看不到为了获得它而所使用的非逻辑手段，再加上传统教学中“重结果，轻过程”，“重应用,轻探究”，往往“掐头去尾烧中段”，忽视了概念的形成和定理的发现过程，忽视了必要的试验、探究、归纳，使学生对数学望而生畏，敬而远之，更谈不上用数学的眼光和思想方法来认识周围的世界。这种教学方法在现行的数学教学中大量存在，它严重妨碍了学生

8、创新才能的发挥，堵塞了学生发现、创造的通道。以二项式定理的传统教法为例，从表面上看，学生所获得的知识结果并未受到什么影响。但仔细分析我们会发现，这个教