初等数学最值问题的常用解法

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1、初等数学最值问题的常用解法陇东学院数学系06级本科（2）班王建龙指导老师：陈克斌【摘要】最值问题在初等数学中占有重要地位，它分布在代数、三角、几何学科之中，内容丰富，题型千变万化，解法也灵活多变，具有较强的的灵活性和技巧性。就最值问题的常用方法和一般技能进行系统的总结，从而提高学生综合接替的能力，同时培养学生思维的敏捷性和深刻性。【关键字】最大值最小值函数单调性法一、引言最值问题是在生产和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活

2、选择的解题途径和方法。对学生考查的角度来看，求最值问题是一个综合能力的考查；从内容来看它涉及到：不等式的性质、参数方程、函数的单调性等等；从方法上来说，它涉及到：代数式的变形与变换、数形结合、不等式法、换元法、导数法、分类讨论、内容与方法上的转换等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析能力、解决问题的能力。二、主要内容下面对求最值问题的常用方法进行总结并举例说明，利用各类型的典型例题，分析求最值问题的解题思路，以揭示其中的特征和规律。(一)配方法二次函数（为常数且）其性质中有①若当时，有最小值。利用

3、配方法将二次函数的一般式化为顶点式，利用二次函数的有关性质解决问题。它主要用于二次函数或可化为二次函数的函数。在解题过程中要特别注意自变量的取值范围。例1、的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值。解：由，得所以有当，即时，取得最大值.评注：此类题解法关键在于配方法，将二次函数一般是化为顶点式，同时要考虑定点的横坐标的值是否落在定义域内，否则考虑函数的单调性。（二）函数的单调性法一次函数的增减性一次函数的自变量的取值范围是全体实数，图像时一条直线，因而没有最值；但当时，则一次函数的图像时一

4、条线段，根据一次函数的增减性，就有最值。（2）先判定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值，一般适用于抽象函数。例2、如图，在中，，.现将分别以、、所在的直线围轴旋转一周，设三个旋转体的体积为。(1)试用、、表示;(2)当为定值时，并令时，将表示的函数，写出函数的定义域，并求这个函数的最大值；（3）当在内变化时，求的最大值。解：（1）设的、、边上的高分别为、、，则，，，，，，（2），即为所求函数，又并且仅当时取等号，由正弦定理所求函数的定义域为函数关于递增（当时）（3）在内变化时，函数关

5、于递减当时，评注：这个代数、三角、立体几何三结合的综合题，应本着步步为营的原则，把它化为若干小题后各个击破。求极值列出函数关系式是关键，对参数的认识是个难点，利用的单调性求极值是技巧。（三）换元法利用换元法解数学题的关键在于选择适当的辅助元，引进适当的代换，不仅比较容易找到解题思路。而且常使问题简单化，用换元法时，要特别注意中间变量的取值范围。例3、设、满足，当、各取什么值时，达到最大值，并求出最大值。解：设，则，代入已知等式得：，当，即或时，即、时，取得最大值评注：本题通过换元变形为含正弦函数的解析

6、式，再利用正弦函数的值域来求最大值。（四）判别式法它是利用根的判别式的意义，通过变形得到系数是与常数的关于的一元二次方程后，得出系数的取值范围。主要适用于可化为关于的二次方程的函数，当的范围是时，仅考虑即可，当的取值范围非时，还需要结合图像求最值。例3、求函数的最值。解法1：函数的定义域为，当且仅当时等号成立，所以当时，另一方面，原式可化为即由，所以但，所以即函数的最小值为，最大值为评注：这是无理函数的最值问题，采用了平方方法，通过求最值，自变量的范围制约着最小值的求得。另外考虑到根号式子的特点，用换

7、元法来解可有如下更简单的解法。解法2：设则所以当，当时，（五）不等式法掌握和灵活运用，这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的三个条件限制：①、、；②等号当且仅当，时成立；③、必须是一定值。例3、若，且，求的最小值解：由，，，则当且仅当，即时取等号故当时，取得最小值9评注：表面上看本题不能使用基本不等式，但只要稍留心便能从两个分母中发现“名堂”，一个分母是，另一个分母是，两数之积正好为“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其实，即便不是“1

8、”也可类似处理，只是式子前面要多乘一个系数。三、结束语前面通过实例，分析了解决最值问题的多种常用方法，虽然是分开叙说的，但它们并非是单独无联系的。在解决问题时，应该在掌握各种方法的基础上，要会比较各种对某具体问题的优劣务于会通，注意它们的通性通法，理解解题的实质，掌握探求解题途径的最佳方法。最后，希望通过本文的总结，能对学生们解决最值问题的能力有一点帮助。参考文献：【1】薛金星，高中数学解题方法与技巧（M）,北京：北京教育出版社，1998.【2】黄戈，解