导数的应用—单调性与极值的习题课(老师)

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1、导数的应用—单调性与极值的习题课【复习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问

2、题；【基础过关】1．函数的单调性⑴函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为；若＜0，则为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有，则.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的；②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各小开区间内的，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大

3、（小）值．称为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程＝0的；③检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得.【基础训练】例1．如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（）6例2.曲线的单调减区间是()A.;B.;C.及;D.及;例3.若函数在处取极值，则例4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点_个例5．若有极值，则的取值范围是.【典型例题】1(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1,

4、2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题易知，解得(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，∵当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0；当x∈(1,2]时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为和(1,2]．2.设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.（Ⅲ）若且在处取得极值,直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。思考:若是有1个不同的交点呢?2个不同的

5、交点呢?3已知函数f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5的图象在x＝1处的切线方程为y＝－12x.(1)求函数f(x)的解析式；6(2)求y＝f(x)的单调递增区间．解　(1)f′(x)＝12x2＋2ax＋b，f′(1)＝12＋2a＋b＝－12，①又x＝1，y＝－12在f(x)的图象上，∴4＋a＋b＋5＝－12，②由①②得a＝－3，b＝－18，∴f(x)＝4x3－3x2－18x＋5.(2)由f′(x)＝12x2－6x－18＝0，得x＝－1，.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：x(－∞，－1)－1f′(x)＋0－0＋f(x)增减增∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，4(2011·安

6、徽)设f(x)＝，其中a为正实数．(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解　对f(x)求导得f′(x)＝ex.①(1)当a＝时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.结合①，可知xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值范围为(0,1]．65.已知函数f(x)=x3-ax-1

7、.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（1）解由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a