复变函数及积分变换公式汇总

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1、.-复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：，是实数,..注：一般两个复数不比拟大小，但其模〔为实数〕有大小.2.复数的表示1〕模：；2〕幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为〔多值函数〕；主值是位于中的幅角。3〕与之间的关系如下：当；当；4〕三角表示：，其中；注：中间一定是“+〞号。5〕指数表示：，其中。(二)复数的运算1.加减法：假设，那么2.乘除法：1〕假设，那么；。2〕假设,那么；3.乘幂与方根假设，那么。.可修编..-假设，那么〔有个相异的值〕〔三〕复变函数1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平

2、面上的一个点集的映射.2．复初等函数1〕指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期的周期函数。〔注意与实函数不同〕对数函数：〔多值函数〕；主值：。〔单值函数〕的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面处处解析，且；注：负复数也有对数存在。〔与实函数不同〕3〕乘幂与幂函数：；注：在除去原点及负实轴的平面处处解析，且。4〕三角函数：在平面解析，且注：有界性不再成立；〔与实函数不同〕双曲函数；奇函数，是偶函数。在平面解析，且。〔四〕解析函数的概念1．复变函数的导数1〕点可导：=；.可修编..-2〕区域可导：在区域点点可导。

3、2．解析函数的概念1〕点解析：在及其的邻域可导，称在点解析；2〕区域解析：在区域每一点解析，称在区域解析；3〕假设在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法那么：解析函数的和、差、积、商〔除分母为零的点〕仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；〔五〕函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在处满足条件：此时，有。2．函数解析的充要条件：在区域解析和在在可微，且满足条件：；此时。注意：假设在区域具有一阶连续偏导数，那么在区域是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时

4、，函数一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法1〕利用定义〔题目要求用定义，如第二章习题1〕2〕利用充要条件〔函数以形式给出，如第二章习题2〕3〕利用可导或解析函数的四那么运算定理。〔函数是以的形式给出，如第二章习题3〕〔六〕复变函数积分的概念与性质复变函数积分的概念：，是光滑曲线。.可修编..-注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。复变函数积分的性质〔与的方向相反〕；是常数；3〕假设曲线由与连接而成，那么。3．复变函数积分的一般计算法1〕化为线积分：；〔常用于理论证明〕2〕参数方法：设曲线：，其中对应曲线的起点，对

5、应曲线的终点，那么。〔七〕关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨根本定理：设在单连域解析，为任一闭曲线，那么2．复合闭路定理：设在多连域解析，为任意一条简单闭曲线，是的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于，那么①其中与均取正向；②，其中由及所组成的复合闭路。3．闭路变形原理：一个在区域的解析函数沿闭曲线的积分，不因在作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。4．解析函数沿非闭曲线的积分：设在单连域解析，为在的一个原函数，那么说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要

6、求出原函数即可。5。柯西积分公式：设在区域解析，为任一正向简单闭曲线，的部完全属于，为任意一点，那么.可修编..-6．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为其中为的解析区域围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的部完全属于。7．重要结论：。〔是包含的任意正向简单闭曲线〕8．复变函数积分的计算方法1〕假设在区域处处不解析，用一般积分法2〕设在区域解析，是一条正向简单闭曲线，那么由柯西—古萨定理，是的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，那么有3〕设在区域不解析曲线仅有一个奇点：〔在解析〕曲线有多于一个奇点：〔只有一个奇

7、点〕或：〔留数根本定理〕假设被积函数不能表示成，那么须改用第五章留数定理来计算。〔八〕解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：假设二元实函数在有二阶连续偏导数且满足，为的调和函数。.可修编..-2．解析函数与调和函数的关系解析函数的实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部的共轭调和函数。两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数；但是假设如果满足柯西—黎曼方程，那么一定是解析函数。3．解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。1〕偏微分法：假设实部，利用条件，得；对两边积分，得〔*〕再对〔*〕式两边对求偏导，得〔**〕由条件，，得

8、，可求出；代入〔*〕式，可求得虚部。2〕线积分法：假设实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径〔如折线〕计算它，其中与是解析区域中的两点。3〕不定积分法：假设实部，根据解析函数的导数公式和条件得知，将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函