圆心角，弧，弦

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1、圆心角、弧、弦及弦的弦心距之间的关系猜一猜请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。O，然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个圆还重合吗?O归纳：圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因此,圆是中心对称图形，对称中心为圆心。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.圆心角所对的弧为AB，过点O作弦AB的垂线,垂足为M,OABM有关概念：顶点在圆心的角,叫圆心角，如,所对的弦为AB；则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,如图，OM为

2、AB弦的弦心距。实验圆心角相等的实验.gsp延伸等对等定理整体理解：(1)圆心角(2)弧(3)弦(4)弦心距知一得三OαAA′B′αB探索总结“知一推三”定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。说明：（1）在同圆或等圆中，“等角”对等弦、等弧，等弦、等弧对“等角”（等角是指相等的圆心角）；（2）等弧对等弦、等角.（但不能说等弦对等弧？）特别提醒：在“同圆或等圆中”的含义.举反例加以说明推理格式：如图所示（1）若AB=CD，则、、。（2）若AB=

3、CD，则、、。（3）若∠AOB=∠COD则、、。ADBCEOF例题解析证明：∵弧AB=弧AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形又∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC例1如图1，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。创新探究1.如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？AECNMBDPO随堂练习已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD

4、不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？解：连结OM、ON，∵M、N分别为弦AB、CD的中点，∴∠AMO=∠CNO=90°∵AB=CD∴OM=ON∴∠OMN=∠CNM∴∠AMN=∠CNM第二课时　　应用忆一忆：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。圆心角与弧的度数关系圆心角与弧的度数.gsp讲例例1：如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF。求证：EF的垂直平分线必经过点O。基础训练1、在⊙O中，一条弦AB所

5、对的劣弧为圆周的1/4，则弦AB所对的圆心角为。2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为。3、如图5，在⊙O中弧AB=弧AC，∠C=75°，求∠A的度数。基础训练4、如图6，AD=BC，那么比较弧AB与弧CD的大小。拓展训练如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；（2）求证：弧AC=弧BD一题多解例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：综合应用如图，A

6、B是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长.试一试1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM＝OM，求证：2.如图，⊙O的半径OP＝5，E是OP上的点，且EP＝2，MN经过点E，ME∶EN＝1∶2，OF⊥MN于F，求OF的长.课堂小结1.圆心角定理的内容？2.运用这个定理时应注意什么问题？3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用哪些方法？你能归纳一下吗？