数学建模论文-基于差分方程的人口预测模型

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1、基于差分方程的人口预测模型摘要本文针对我国人口增长中出现的新特点，建立了两个符合实际情况的预测模型。模型一：基于Logistic模型，建立了含市、镇、乡人口相互流动关系的微分方程模型，求得全国总人口数在短期内将持续增长，到2010年、2020年分别为13.59亿和14.44亿，具有较好的中短期预测效果。模型二：从年龄转移与总和生育率出发，建立了离散型人口发展模型。1.针对性别比例，引入女性比例转移矩阵，利用计算机进行随机模拟，建立起动态的女性比例转移矩阵；2.针对人口迁移，引入人口迁移率矩阵，将

2、迁移率标准化后利用平均迁移率实现了对迁移人数的预测；3.针对死亡率，利用分段加权法估计其随时间的变化，得到了较好的预测结果；4.针对老龄化和出生高峰，将其转化为育龄妇女占总人口的比例，实现了量化预测。综合考虑上述因素，利用MATLAB编程求解，全国总人口将呈现短期增加、中期平稳、长期缓慢下降的趋势。其中总人口在2010年、2020年将分别达到13.63亿和14.57亿人；在2039年将达到人口高峰14.65亿人，性别比逐步逼近46.7％，69岁以上人口将超过4亿人，占总人口的27.48％。模型一

3、需要的原始数据少，操作简单，适合于中短期预测，但长期预测效果不佳；模型二综合考虑了各因素，对中短期和长期均有较好的预测效果，但所需数据量大，操作较为复杂。关键字Logistic模型人口发展模型转移矩阵计算机模拟迁移率1.161.问题重述人口预测是国家工作中的重点，关系着国家的发展方向和命运。我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对我国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性

4、别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着我国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》对此做出了进一步的分析。从我国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据，建立我国人口增长的数学模型，并由此对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别注意指出模型中的优点与不足之处。2.问题分析一个社会（国家、省市、地区）人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等，都能严重地影响社会人口的发展过程。

5、然而，婴儿的出生、人口的死亡、居民的迁移却是决定该社会人口变化的直接原因，近年来我国人口发展出现的一些新特点，如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，都直接或间接地通过这三个现象表现出来。综合考虑这些因素成为构建符合我国国情的人口增长模型关键。建立模型对人口发展过程进行定量预测，就是根据现有的人口统计资料和原始数据，从当前实际的人口状况出发，并对未来的人口发展过程，提出合理的控制要求和假定，应用科学的方法，预测出未来几年、几十年甚至上百年的人口发展趋势，包括人口总数、

6、人口的性别、年龄和城乡结构，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成中劳力和抚养水平及老化水平等。3.模型假设针对本问题，建立如下合理的假设：1.题中所给数据能反映我国人口变化的基本情况；2.一些重大事件，如战争、自然灾害等对人口预测的影响暂不考虑；3.所给数据都是年末数据，也即下一年年初数据，如2001年总人口实质上也表示2002年初的总人口；4.今年所统计的岁的人口在下一年年初均为岁；5.生育模式不随时间变化。161.符号说明符号说明单位在年初的总人口数万人最大人口容量万人人口固

7、有增长率各地区间人口迁移系数第年年初有岁的人口数万人第年岁人的死亡率第年岁人口的迁入量万人第年女性人口在岁人口中所占比例第年生育模式第年总和生育率育龄期范围，岁第年岁人的后向死亡率第年岁人的前向死亡率第年岁人的迁移率2.模型建立与求解2.1.数据预处理题中所给5年我国人口1%调查数据是对人口的抽样调查数据，由于数据的不完备性，并不能由它来估计当时的全国总人口数。但基于抽样调查的等概率性，可以认为它所反应的市、镇、乡三个地区的人口比例及男女比例是与实际较为接近的。从《中国人口统计

8、年鉴2006》[1]国家统计局编委会，中国人口统计年鉴2006，北京：中国统计出版社，2006。可以得到2001~2005年具体的全国总人口数。进而可以得到各部分人口数。所得数据见表1。例：表15年间各部分人口数年份20012002200320042005城市男1546616803167791667718149城市女1542016804168431688918092镇男8394821399611006011276镇女815479049705990111117乡男41271405663922239