极值点偏移问题

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1、-.极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数在区间只有一个极值点，方程的解分别为，且，〔1〕假设，那么称函数在区间上极值点偏移；〔2〕假设，那么函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；〔3〕假设，那么函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数，在区间上只有一个极大〔小〕值点，方程的解分别为，且，〔1〕假设，那么，即函数在区间上极大〔小〕值点右〔左〕偏；〔2〕0假设，那么，即函数在区间上极大〔小〕值点左〔右〕偏。证明：〔1〕因为可导函数，在区间上只有一个极大〔小〕值点，那

2、么函数的单调递增〔减〕区间为，单调递减〔增〕区间为，又，有由于，故，所以，即函数极大〔小〕值点右〔左〕偏。.word.zl.-.判定定理2对于可导函数，在区间上只有一个极大〔小〕值点，方程的解分别为，且，〔1〕假设，那么，即函数在区间上极大〔小〕值点右〔左〕偏；〔2〕假设，那么，即函数在区间上极大〔小〕值点左〔右〕偏。证明：〔1〕因为对于可导函数，在区间上只有一个极大〔小〕值点，那么函数的单调递增〔减〕区间为，单调递减〔增〕区间为，又，有，且，又，故，所以，即函数极大〔小〕值点右〔左〕偏.结论〔2〕证明略。一、运用判定定理判定极值

3、点偏移的方法1.方法概述：〔1〕求出函数的极值点；〔2〕构造一元差函数〔3〕确定函数的单调性；〔4〕结合，判断的符号，从而确定的大小关系。2.抽化模型答题模板：假设函数满足，为的极值点，求证：.word.zl.-.〔1〕讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增。〔2〕构造；注：此处根据题意需要还可以构造成〔3〕通过求导谈论的单调性，判断处在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可以得出，从而得到：时，〔4〕不妨设，通过的单调性，，的大小关系得出结论；接上述情况：由于时，且，

4、故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证；〔5〕假设要证明还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为故，由于在上单调递减，故说明：〔1〕此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比拟复杂，计算时须细心；〔2〕此类题目假设试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明或的大小关系；假设试题难度较大，那么直接给出形如或者.word.zl.-.的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。一、例题(一)不含参数的的极值点偏移问题例1

5、：〔2010XX理21〕函数〔1〕求函数的单调区间和极值；〔2〕假设，且，求证：解答：【法一】〔1〕，；增减极大值〔2〕，；减；增时，即，不妨设，由〔1〕知，，在上增，，即【法二】欲证，即证.word.zl.-.由法一知，故又因为在上是单调递减的，只需证,又因为，故也即证，构造函数，由在上单调递增，故原不等式成立【法三】由得，，化简得①不妨设，由法一知，令，那么，，代入①得：，反解出：，那么，故要证即证，又因为，等价于证明：②构造函数，那么，，故上单调递增，从而上单调递增，【法四】由得，，化简得①，两边同时取以e为底的对数：得，即

6、，从而，令，那么欲证等价于证明②，.word.zl.-.构造，那么，又令那么，由于对恒成立，故，在上单调递增，，对恒成立，在上单调递增，由洛必达法那么知：即，即证③式成立，也即原不等式成立例2：〔2013文21〕，〔1〕求函数的单调区间；〔2〕证明：当时，.word.zl.-.(一)含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元根底上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切方法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例1函数有两个不同的零点，求证：例2.函数，

7、为常数，假设函数有两个不同的零点，求证：例3：是函数的两个零点，且〔1〕求证：〔2〕例4：函数，假设存在〔〕，使求证：变式训练：1.设函数的图像与轴交于两点，〔1〕证明：〔2〕求证：2.设函数，其图像在点处切线的斜率为，当时，令，设〔〕是方程的两个根，是.word.zl.-.的等差中项，求证：3.函数〔1〕假设，求函数在上的零点个数；〔2〕假设有两零点〔〕，求证：4.函数〔1〕讨论的单调性；〔2〕设，证明：时，(一)含对数式的极值点偏移问题根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。对数

8、平均不等式的介绍与证明两个整数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：例1：函数〔1〕讨论的单调性；〔2〕设，证明：当时，；〔3〕假设函数的图像与轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.word.zl.-.(一)含指数