史密斯正交化

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1、Schmidt正交化原版公式β1=α1β2=α2-<β1,α2><β1,β1>β1β3=α3-<β1,α3><β1,β1>β1-<β2,α3><β2,β2>β2……βn=αn-<β1,αn><β1,β1>β1-<β2,αn><β2,β2>β2-…-<βn-1,αn><βn-1,βn-1>βn-1 要知道，v(u，v均为向量)表示向量u在向量v上的投影。因为表示向量v的内积，即向量v模的平方=vvcos0=v2，表示u,v的内积，=u

2、v

3、cosθ,所

4、以，θuj

5、u

6、cosθv=

7、u

8、

9、v

10、cosθ

11、v

12、2v=

13、u

14、cosθ

15、v

16、v=jucosθ=j即v=j(j为v方向上的单位方向向量j=v

17、v

18、)==u

19、v

20、cosθ所以 <β,α><β,β>β=<α,β><β,β>β所以，β1=α1i1=β1

21、β1

22、β2=α2-<α2,β1><β1,β1>β1=α2-<α2,i1>i1i2=β2

23、β2

24、?Schmidt正交化的基本想法，是利用构造一个新的正交基。α2为所给任意向量，<α2,i

25、1>i1为α2在β1方向上的投影，正交化所得β2为垂直于β1的向量，（此时β1为x轴方向）此为垂直的由来，即β1⊥β2β3α3黑色箭头线为α3白色箭头线为<α3,i1>i1，是α3在β1方向上的投影蓝色箭头线为<α3,i2>i2，是α3在β2方向上的投影橙色箭头线为<α3,i1>i1+<α3,i2>i2的矢量和红色箭头线为β3=α3-（<α3,i1>i1+<α3,i2>i2）=α3-<α3,i1>i1-<α3,i2>i2此时的β3就垂直于β1，β2所在的平面。这样新得到的向量就垂直于前面的两个向量，以此类推，

26、使得新得到的向量会垂直于之前得到的每一个向量。βn=αn-<αn,i1>i1-<αn,i2>i2-?-<αn,in-1>in-1=αn-（<αn,i1>i1+<αn,i2>i2+?+<αn,in-1>in-1） 即，βn等于αn减去αn在β1~βn投影的矢量和，此时的βn垂于β1~βn各矢量，使得正交化完成。所以只要知道投影公式v，或v=j(j=v

27、v

28、)，j放在公式里就是正交后的单位化向量。PS:你就接着按书上的记就行，只要知道后边所减的每一项是当前向量αn

29、的投影，并知道投影公式，应该就不会记错了。虽然<α2,β1><β1,β1>β1=<β1，α2><β1,β1>β1，但是α的位置还是和书上公式一样比较保险，以防傻瓜老师误判。