【一致收敛与收敛】

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1、在数学中，一致收敛性（或称均匀收敛）是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质（如连续性）。定义：设为一集合，为一度量空间。若对一函数序列，存在满足，对所有，存在，使得，则称一致收敛到。注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中仅与相关，而在逐点收敛中还与相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。例子:考虑区间上的函数序列，它逐点收敛到函数，然而这并非一致收敛。直观地想像：当愈靠近，使接近所需的便愈大。可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中皆连续，而不连续。性质：假设一致收敛到，此时

2、有下述性质：（1）连续性：若是集合的闭包中的一个元素，且每个都在上连续，则也在a上连续。若对集合I的每个紧子集，每个都在上连续，则在上连续。（2）与积分的交换：令为中的开集，或。若每个都是黎曼可积，则也是黎曼可积，而且。注：在勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。（3）与微分的交换：令为中的开集，或。若每个皆可微，且一致收敛到函数，则亦可微，且。