3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

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1、3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12013年南京市中考第26题已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖动点A可以改变m的值．分别点击按钮“m1”、“m2”、“

2、m3”，再改变实数a，可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”，拖动点A可以改变m的值，竖直拖动点C可以改变a的值．分别点击按钮，可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为(m,0)、(m＋1,0)，AB＝1．2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．4．本题大量

3、的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)(x－m－1)，得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m＋1,0)．因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m)，得抛物线的顶点坐标为．因为AB＝1，S△ABC＝，所以a＝±8．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等．第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为，将代入，得．解得．图1第二种情况：如图2

4、，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为，将代入，得．解得．图2图3考点伸展第（1）题也可以这样说理：由于由，抛物线的顶点坐标为．当a＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；当a＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点．因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a[x2－(2m＋1)x＋m2＋m]，得＞0．因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两

5、个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例22013年南昌市中考第25题已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，___

6、__)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1An；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）动感体验请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这

7、条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2

8、＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－