广义积分的收敛判别法.

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1、..第二节　广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否那么其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1〔Cauchy收敛原理〕f(x)在[a,+∞〕上的广义积分收敛的充分必要条件是：,存在A>0,使得b,>A时，恒有证明：对

2、使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分(为瑕点),我们有定理9.2〔瑕积分的Cauchy收敛原理〕设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，那么瑕积分收敛的充要条件是:,,只要0<，就有..word.zl...定义9.5如果广义积分收敛，我们称广义积分绝对收敛〔也称f(x)在[a,+上绝对可积];如收敛而非绝对收敛，那么称条件收敛，也称f(x)在[a,+上条件可积．由于，均有因此，由Cauchy收敛原理，我们得到以下定理．定理9.3如果广义积分绝对收敛，那么广义积分必收

3、敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比拟判别法：定理9.4〔无限区间上的广义积分〕设在[a,+)上恒有〔k为正常数〕那么当收敛时,也收敛;当发散时,也发散．证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法..word.zl...定理9.5设f(x),g(x)均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使[a,b),那么1）如收

4、敛，那么也收敛。2〕如发散，那么也发散．比拟判别法在实际应用时，我们常常用以下极限形式．定理9.6如果f(x),g(x)是[a,+上的非负函数,且那么(1)如果,且收敛,那么积分也收敛．(2)如果,且发散，那么积分也发散．证明：如果那么对于,存在A,当时,即成立.显然与同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f(x),g(x)是非负函数，且那么（1）当,且收敛时，那么也收敛．..word.zl...（1）当，且发散时，那么也发散．

5、对无限区间上的广义积分中，取作比拟标准，那么得到以下Cauchy判别法：设f(x)是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8　假设0f(x)，p>1,那么积分收敛，如f(x)，p1,那么积分发散．其极限形式为定理9.9如(,p>1),那么积分收敛．如,而,1,那么发散.例9.8判断以下广义积分的收敛性。(1)(2)(m>0,n>0)解：〔1〕因为0由收敛推出收敛．..word.zl...〔2〕因为所以当n－m>1时，积分收敛.当n－m1时，积分发散．对于瑕积分，使用作为比拟标准，我们有以下柯西

6、判别法．定理9.10　设x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1）如0f(x)(c>0),p<1,那么收敛．（2）如f(x)(c>0),p1,那么发散．瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11设如0k<,p<1,那么收敛如00)解：〔1〕1是被积函数的唯一瑕点因为=..word.zl...由知瑕积分收敛．〔2〕0与都是被积函数的瑕点．先讨论由知:当p<1时,瑕积分收敛;当p1时,瑕

7、积分发散．再讨论因所以当q<1时,瑕积分收敛，当q1时，瑕积分发散．综上所述，当p<1且q<1时,瑕积分收敛;其他情况发散．例9.10求证:假设瑕积分收敛，且当时函数f(x)单调趋向于+，那么xf(x)=0.证明：不妨设,f(x)0,且f(x)在(0,1)上单调减少。收敛，由柯西收敛准那么，有,(<1),有..word.zl...从而0<或00),当<时收敛当时发散.证明:∵==所以当3<1时，即<时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散．前面讨论的是非

8、负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进展讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12〔积分第二中值定理〕设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，那么存在ξ[a,b]　使..word.zl...=为了证明定理9.12，我们先讨论以下特殊情况．引理9.1设f(x)在[a,b]上单调下降并且非负，函数g(x)在[a,b]上可积，那么存在c[a,b]，使=f(a)证明：作辅助函数