极坐标及极坐标方程

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1、.-极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用

2、的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极坐标已应用到各个

3、领域。1.1极坐标系的建立在平面内取一个定点，叫作极点，引一条射线，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。..word.zl-.-对于平面内任意一点，用表示线段的长度，表示从到的角度，叫点的极径，叫点的极角，有序数对就叫点的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作．若点在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。图1-1图1-2如图1-2，此时点的极坐标可以有两种表示方法：(1)＞0，(2)＞0，同理，也是同一个点的坐标。又由于一个角加后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限

4、定，，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。1.2曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤：1°建立适当的极坐标系，并设动点的坐标为；2°写出适合条件的点的集合；3°；4°化简所得方程；..word.zl-.-5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程：图1-3过点作准线的垂线，垂足为，以焦点为极点，的反向延长线为极轴，建立极坐标系。设是曲线上任意一点，连结，作⊥，⊥，垂足分别为．那么曲线就是集

5、合.设焦点到准线的距离，得即这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当时，方程表示椭圆，定点是它的左焦点，定直线是它的左准线。时，方程表示开口向右的抛物线。时，方程只表示双曲线右支，定点是它的右焦点，定直线是它的右准线。若允许，方程就表示整个双曲线。1.3极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设是平面内任意一点，其直角坐标，极坐标是，从点作⊥，由三角函数定义，得...word.zl-.-图1-4进一步有注：在一般情况下，由确定角时，可根据点

6、所在的象限取最小角。2极坐标在平面解析几何中的应用2.1极坐标法求到定点的线段长度解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。2.1.1以定点为极点..word.zl-.-如果题设条件与结论中，涉及到过某定点的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通

7、方程为极坐标方程求解。例1设等腰的顶角为，高为，在内有一动点，到三边的距离分别为，并且满足关系，求点的轨迹。图2-1解:如图2-1所示,以为极点,∠的平分线为极轴,建立极坐标系，设点极坐标为,则由得化简得化成直角坐标方程为..word.zl-.-这是以为圆心，以为半径的圆，所求的轨迹是该圆在等腰内部的部分。2.1.2以原点为极点如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。例2已知椭圆，直线:，是上一点，射线交椭圆于，又点在上，且满足，当点在

8、上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解:如图2-2所示，以为极点，为极轴，建立极坐标系。则由互化公式知椭圆的极坐标方程为(1)直线的极坐标方程为(2)，则由(1)式知由(2)式知又,有所以..word.zl-.-即点的轨迹是以为中心，长轴、短轴分别为且长轴平行与轴的椭圆，去掉坐标原点。图2-22.1.3以焦点为极点凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长