方向角及方位角问题

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1、.-年级：九年级下册科目：数学主备:审核：课题：28.2方位角与方向角问题学习目标：能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．重点与难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。一、用一用用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．方位角与方向角1．方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目

2、标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．（1）（2）2．方位角..word.zl-.-从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面

3、或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.0

4、1海里）..word.zl-.-分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．解：如图，在Rt△APC中，∵cos（90°-65°）=___________________∴PC=_____________________________=在Rt△BPC中，∠B=34

5、°，∵sinB=__________________，∴PB=____________________________________≈_______因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．例2、解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如图（1）所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如图（2）所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L

6、．（1）（2）..word.zl-.-与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图（3）表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．（3）在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得

7、到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，还会更多地了解这方面的内容．二、总一总利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．..word.zl-.-4．得到实际问题的答案．三、做一做（一）、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西

8、35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题)(第5题)(第8题)2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙