2021年大学高数吉米多维奇

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1、2021年数学一试题分析.详解和评注一.填空题：1－6小题，每道题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）limxln〔1x〕x02.1cosx0【分析】此题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.0xln〔1x〕xx【详解】limlim2.x0x012

2、精.1cosx

3、品.x

4、可.2

5、编.

6、辑.0

7、学.【评注】此题为求未定式极限的基此题型，应充分利用等价无穷小代换来简化运算.

8、习.

9、资.0

10、料.*

11、yx〕x*（2）微分方程y的通解为yCxe0〕.

12、〔1*〔x

13、x*【分析】本方程为可分别变量型，先分别变量，然后两边积分即可

14、

15、欢.

16、迎.【详解】原方程等价为

17、下.

18、载.dy11dx

19、，yx两边积分得lnylnxxC，整理得1xC1yCxe.（Ce）【评注】此题属基此题型.22（3）设为锥面zxyz1〕的下侧，就〔0xdydz2ydzdx31)dxdy2.〔zz1【分析】此题不为封闭曲面，第一想到加一曲面1：22，取上侧，使1xy1构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行运算即可.2【详解】设1：z1y1〕，取上侧，就〔x2xdydz2ydzdx31)dxdy〔zzzdxxdydz2ydzdx31〕2〔dxdyydxdydz3〔z1〕dxdy.11211而xdydz2ydzdx31〕dxdy＝6dv6drdrdz2，00r〔V1z1第1

20、页，共16页xdydz2ydzdx3〔1〕.yd0zxd1所以xdydz2ydzdx31〕dxdy2.〔z【评注】此题属基此题型，不论为用球面坐标仍为用柱面坐标进行运算，均应特殊留意运算的精确性，主要考查基本的运算才能.（4）点〔2、1、0〕到平面3x4y5z0的距离d2.【分析】此题直接利用点到平面距离公式AxBy0Cz0D0

21、精.d222

22、品.ABC

23、可.

24、编.

25、辑.

26、学.

27、习.进行运算即可.其中〔xy0、z0〕为点的坐AxByCzD0为平面方程.

28、资.

29、料.标，0、*

30、*324150

31、【详解】d2.*

32、222*345

33、

34、欢.

35、迎..

36、下.

37、载.【评注】此题属基此题型，要熟记空间解析

38、几何中的概念和公式.21（5）设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满意BAB2E，就12B2.【分析】将矩阵方程改写为AXB或XAB或AXBC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行运算即可.【详解】由题设，有B〔AE〕2E11于为有BAE4，而AE2，所以B2.11【评注】此题关键为将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0、3上的均匀分布，就1PmaxX、Y1.9【分析】利用X与Y的独立性及分布运算.【详解】由题设知，X与Y具有相同的概率密度2第2页，共16页10x3、f〔x〕3.0、其他就PmaxX1PX1、Y1PX1PY1、Y22

39、111PX1dx.039【评注】此题属几何概型，也可如下运算，如下图：

40、精.

41、品.

42、可.

43、编.

44、辑.

45、学.

46、习.

47、资.

48、料.*

49、*

50、*

51、*

52、

53、欢.

54、迎.

55、下.

56、载.S阴1就PmaxX、Y1PX1、Y1.S9二.挑选题：7－14小题，每道题4分，共32分.每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数yf〔x〕具有二阶导数，〔x〕〔x〕，x为自变量x在点x0处的且f00、f增量，y与dy分别为f〔x〕x0处对应的增量与微分，如x0，就在点(A)0dyy.〔B〕0ydy.〔C〕ydy0.〔D〕dyy0.[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图

57、示法求解.【详解】由f〔x〕〔x〕知，函数f〔x〕单00、f调增加，曲线yf〔x〕凹向，作yf〔x〕的图形如函数右图所示，明显当x0时，ydyf〔x0〕dx〔x00，故应选〔Ａ〕.f〕x【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形简洁绘出时，图示法为求解此题的首选方法.此题仍可用拉格朗日定理求解：yf〔x0x〕ffx、x0x〔x0〕〔x0〕由于f〔x〕0，f〔x〕单调增ffx0，所以加，即〔〔x0〕，〕又3第3页，共16页就yfxf〔x0〕x0，即0dyy.〔〕dy14（8）设f〔x、y〕为连续函dfcos、rsin〕rdr等于数，就〔r0022221x1x22（Ａ）dxf〔x、y

58、〕dy.（B）dxf〔x、y〕dy.0x0022221y1y2〔C〕dyf〔x、y〕dx.〔D〕〔x、y〕dx.[Ｃ]2dyf0y00【分析】此题第一由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.

59、精.

60、品.

61、可.【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，明显为Y

62、编.

63、辑.型域，就

64、学.

65、习.

66、资.

67、料.21y2*

68、2dyf*原式〔x、y〕dx.0y

69、*

70、*应选（Ｃ）.

71、

72、欢.

73、迎.

74、下.

75、载.【评注】此题为基此题型，