斯特瓦尔特定理

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1、斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。斯特瓦尔特定理的证明证明：在图2-6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理[1]有AC^2=AD^2+DC^2-2DC·DH，(1)AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。(2)用BD乘(1)式两边得AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，①用DC乘(2)式两边得AB^2·DC=A

2、D^2·DC+BD^2·DC+2BD·DH·DC。②由①+②得到AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+DC)+DC^2·BD+BD^2·DC=AD^2·BC+BD·DC·BC。∴AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。或者依据余弦定理得AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos∠APBAC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos∠APC两边同时除以PB·PA·PC得AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB化简即可(注：图中2-

3、7A点为P点，BDC点依次为ABC)斯特瓦尔特定理的逆定理成立斯特瓦尔特定理的推论斯特瓦尔特定理还有如下推论(1)若AB=AC，则AP^2=AB^2-BP·PC(2)若AP为BC中线，则AP^2=1/2(AB^2+AC^2)-1/4*BC^2(即中线长定理)(3)若AP为∠A内角平分线，则AP^2=AB·AC﹣BP·PC(即角平分线长定理)(4)若AP为∠A外角平分线，则AP^2=﹣AB·AC+BP·PC(5)若BP/BC=λ，则AP^2=λ·﹙λ﹣1﹚·BC^2+﹙1﹣λ﹚·AB^2+λ·AC^2斯特瓦尔特定理与托勒密

4、定理和张角定理可以互化斯特瓦尔特定理的常见应用方式①用于得到线段倍份关系②用于求解三角形问题(诀窍是选择适当的三角形及其边上的点;敏捷运用推论)