数学建模--短程赛跑中运动员速度变化情况

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1、..短程赛跑中运发动速度变化情况摘要本文就讨论“短程赛跑过程中速度变化情况〞的问题参考了Keller的赛跑模型建立了动态优化数学模型.在赛跑路程确定的前提下，通过利用最优化原理，建立动态规划模型对运发动在短程赛跑过程中速度与时间的关系进展了讨论，得到在赛跑过程中速度受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，并假定冲力满足微分方程关系式，内外阻力与速度成正比.针对问题一，根据条件求解微分方程，并根据牛顿运动第二定理得出速度关于时间的表达式为；路程满足的表达式为；再通过MATLAB对问题二表格中的数据进展非线性拟合，求解出运发动在赛跑过程中到

2、达最大速度的时间为；最后由已求得的数据得出速度关于时间的最终表达式，并利用MATLAB的plot函数作出了的示意图，发现在赛程的进展一段时间后，运发动的速度能到达极限也就是函数的极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运发动的速度会越来越慢，较符合实际情况；针对问题二，将表格中的数据逐个代入到速度关于时间的最终表达式中，即可算出速度的理论值，再将理论值与实际值进展比较、总结，得到最终表格，并发现理论值与实际值的误差很小，说明得出的理论表达式较为准确.关键词跑步速度阻力系数最大冲力冲力限制系数非线性曲线拟合一、问题重述经研究发现在短

3、跑比赛中，运发动由于生理条件的限制在到达一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力.假设运发动抑制生理限制后能发挥的冲力满足,是冲力限制系数，为最大冲力.问题：〔1〕试建立模型求出短跑比赛时速度和距离的表达式，及到达最高速度的时间，作出的示意图.　〔2〕某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离处所用的时间和当时的速度如下表所示〔平均值〕：s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.

4、1911.6211.7611.4911.4711.3611.22试从这组数据算出的理论值与实际数据比较.你对这个模型有什么解释和评价.jz*..一、问题分析运发动在赛跑过程中速度由于受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，会随着时间的变化而变化.在距离一定的前提下，运发动身体所能提供的冲力越大，受到的内外阻力越小，那么赛跑过程中所能到达的最大速度越大，成绩越好.冲力的能量来源主要是呼吸作用产生的能量以及人体储存的能量，前者可以假设保持一定，而后者会随着时间的增加而不断消耗，因此在赛跑时运发动的冲力会不断减小，同时内外阻力会随着速度的增加

5、而增加，由此可以得出在赛跑过程中的速度随着时间的变化先增大，在到达最大速度之后那么会有所减少.在讨论问题过程中，认为阻力与速度成正比，运发动的质量为单位质量.针对问题一，由于运发动抑制生理限制后能发挥的冲力满足的微分方程，可知等式两边关于自变量积分求出冲力关于时间的关系式；运发动在赛跑过程中的内外阻力满足；那么根据牛顿第二定理,即可求出运发动比赛时速度关于时间的表达式；再根据,对关于积分，即得距离关于时间的表达式；由于得到的表达式是关于自变量及参数的函数，并且运发动不一定就在问题二表格中的某一点恰好到达速度最大值，故要求出到达最高速度的时间，

6、就要通过问题二中的数据利用MATLAB进展非线性拟合，得出拟合函数再进展求导计算，同时求解出拟合出的参数〔估计值，求解参数准确值时要作为迭代初值〕；要作出的示意图，就要根据得出关于参数的表达式，并将在进展拟合时求得的到达时的时刻和路程，同时带入到表达式中，再利用MATLAB的fsolve函数求解该三元方程组，得出参数的实际值〔迭代初值即为)，得到确实定表达式，最后利用MATLAB的绘图功能进展绘图.针对问题二，由于在问题一中已经通过讨论得到了确实定表达式，分别带入表格中的数据，得到速度的理论值，再与表格中的数据进展比较，最后对模型进展合理的解

7、释与评价.二、模型假设1.赛跑时体内外的阻力与速度成正比，比例系数为,运发动能发挥的最大冲力为,初速度为；2.运发动的质量为单位质量，即；3.在时运发动到达最大冲力，且在跑步过程中冲力大小随着时间递减.四、符号表示jz*..运发动奔跑时间运发动到达最大速度的时间运发动奔跑过程中的冲力运发动奔跑过程中的最大冲力进展非线性拟合时得出的最大冲力估计值运发动奔跑过程中的加速度运发动奔跑过程中的跑步速度运发动奔跑过程中能到达的最大速度运发动奔跑过程中的跑步距离运发动到达最大速度时的路程运发动奔跑过程中受到的内外阻力冲力限制系数进展非线性拟合时得出的冲力

8、限制系数估计值运发动质量奔跑过程中体内外阻力的比例系数的倒数进展非线性拟合时得出的体内外阻力的比例系数的倒数估计值运发动奔跑过程中速度关于时间的表达式运发动奔跑过程