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1、22辅助角公式asinbcosabsin()的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式2222asinbcos=absin()或asinbcos=ab·cos(),让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮
2、助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1求证：3sin+cos=2sin（+）=2cos（-）.63其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见,3sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢?2.辅助角公式的推导例2化asinbcos为一个角的一个三角函数的形式.22ab解:asin+bco
3、s=ab(sin+cos),2222ababab①令=cos,=sin,2222abab22则asin+bcos=ab(sincos+cossin)22b=absin(+),(其中tan=)a1精品学习资料可选择pdf第1页，共7页-----------------------ab②令=sin,=cos,则2222abab2222asin+bcos=ab(sinsin+coscos)=abcos(a-),(其中tan=)b其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求b出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定.a推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两
4、个问题:一是为什么要令ab=cos,=sin?让学生费解.二是这种“规定”式的推2222abab导,学生难记易忘、易错!22二.让辅助角公式asinbcos=absin()来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，asinbcos已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.1.在平面直角坐标系中,以a为横坐的终边标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,y则总有一个角,它的终边经过点P.设?P(a,b)22rOP=
5、r,r=ab,由三角函数的定义知bbOxsin==,22rab图1aacos=.22rab2222所以asin+bcos==abcossin+absincos22b=absin().(其中tan=)a2精品学习资料可选择pdf第2页，共7页-----------------------2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),的终边y如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=22?P(b,a)ab.由三角函数的定义知raasin==,22rabOxbb图2cos==.22rab2222asin+bcos=absinsinabcosc
6、os22a=abcos().(其中tan=)b例3化3sincos为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(3,1),设角的终边过点P,则OP2132=r=31=2.sin=,cos=.22∴33sincos=2cossin+2sincos=2sin().tan=.32k,∴3sincos=2sin().66经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式22abasin+bcos=ab(sin+cos)=2222abab22babsin(),(其中tan=).或者a22abasin+bcos=ab(sin+cos)=2222abab22aabcos(),(其中tan=
7、)b3精品学习资料可选择pdf第3页，共7页-----------------------我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解22abasin+bcos凑成ab(sin+cos)的道理,以2222abab及为什么只有两种形式的结果.例4化sin3cos为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-3)在第四象限.OP=2.设角过P点.则31sin,cos.满足条件的最小正角为2255,2k,kZ.3
