单扩域的研究

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1、------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx单扩域的研究【精品文档】单扩域的研究摘要：从群环域中的分类，域是一类特殊的环，比一般的欢更具有特殊性质。大体上，实数域是在他的子域有理数域中建立起来的，复数域是在他的子域上建立起来的。所以从历史上讲，对于域的研究只是从一个给定的域出发，来研究他的扩域。本文主要研究单扩域的一些基本性质。关键词：环：域；单扩域；

2、1扩域的概念定义1：如果域它不含真子域，则称为一个素域。例1：以素数为模的剩余类环是一个素域。定义2：设是域，若元素1在（，+）中的阶数为素数，则称为域的特征。例2：若元素1在（，+）中的阶数为无穷大，则称的特征为0，的特征记作。引理1：设和都是有无零因子的交换环，且和同构，即，和分别是和的分式域，则且当时，有。定理1：设是一个域，若的特征是0，那么包含一个有理数同构的素域；若的特征是素数，那么包含一个与同构的素域。证明：设是域的单位元，作集合，那么，是整数环到的一个同态满射。事实上，显然是满射，

3、且，，有；，【精品文档】【精品文档】当的特征是0时，，即是一个单射，得是一个同构映射，即。设的分式域为，则包含，由引理1知，的分式域同构，而整数环的分式域为有理数，即。当的特征是素数时，则有。事实上，由，得。而是的极大理想，则，即。故只有。根据环的同态基本定理有。当是素域时，则只有平凡子域本身，在上述的证明过程中，当=0时，有；当时，有。结论成立。1.2域的扩张定义3：设（）是域，是的非空子集，且（）也是域，则称是的子域，是的扩域，记做。定义4：设是一个加群，是一个域，对任何定义一个元素满足下列性

4、质：恒有下列性质；；；。则称是域上的一个向量空间（线性空间）。定义5：设是域的扩张，为的子集，中含有和的子域；同时含有和的域的交仍是的子域，这就是最小子域。称这个最小子域为在上由生成的扩域，也称添加得到的扩域，记做。定义6：由于对的扩张次数，记做。当有限时，称是的有限扩张，否则称为无限扩张。【精品文档】【精品文档】引理2：设为的扩域，是的一个非空的有限子集，即，则=其中为域关于元素的多项式环。也就是说，域在中的分式域。引理3：设为的扩域，为的一个非空子集，则，其中为的任意有限子集。引理4：设为的扩

5、域，为的一个非空子集，则。引理5：设为的扩域，为的一个非空子集，则。2单扩域2.1代数元和超越元定义7：设为的扩域，，则称为添加所得的单扩域。定义8：设为的扩域，，如果是域上的一个非零多项式的根，则称为域的一个代数元，叫做上的一个单代数扩域；如果不是域上任意非零多项式的根，则称为域上一个超越元，叫做上的一个单超越扩域。例3是上的代数元。证：，，【精品文档】【精品文档】即，得出是有理数域上的多项式的根，所以是上的代数元。定理2：设为的扩域，，令，则是的一个理想，且。当为上的代数元时，是由中的不可约多

6、项式生成的，即；当是上的超越元时，，即。证明：做映射，容易看出是环的同态满射，且，所以，是的一个理想。因此，由环的同态基本定理得出。当为上的代数元时，，由于是一个欧式环，因而它是一个主理想环。设，只需要证明是的一个不可约多项式。由于，即，显然为非零且非零次的多项式，即是中的非零单位的元，如果是中的可约元，则有真因子分解，其中和的次数都低于的次数，而，由于中无零因子，则必有或。不妨假设，所以，，从而得矛盾。因而是的一个不可约多项式。当为上的超越元时，显然有。推论：设为的扩域，，则是域当且仅当是上的代

7、数元。【精品文档】【精品文档】证明：设为上的代数元，则由定理2得，而为中的不可约元，因而是的一个极大理想，于是是一个域。反之，设为的超越元，则，而不是域。定义9：设是中次数最低、首项系数为1的多项式，则称为的域上的极小多项式，而次数称为在上的次数。定理3：域上的代数元在上的极小多项式是理想的生成元，且是中的不可约多项式，它对来说是唯一的。证：由于是一个主理想，设。由于，故，因而。又因为是中次数最低的多项式，则有，即因而，由定理2可知是中的不可约多项式。若有两个极小多项式，，则由于与的首项系数都为1

8、，所以，得，既有。定理4：设为域上的一个代数元，而为的不可约多项式，而且首项系数为1，，那么，是在上的极小多项式。证明：因为，即。如果的极小多项式为与首项系数都是1，故=。2.2单扩域的结构定理5：设为的扩域，。若是上的一个超越元，那么的分式域，其中是域上关于为定元的一元多项式环；若是【精品文档】【精品文档】上的一个次代数元，那么，，且任意中的元素都可唯一的表示为的形式，其中。证明：当时域的一个超越元时，由前面推理知，又由定理2知，，因为同构的环，他们的分式域也同构，而的分式域恰好