《提优教程》教案第14讲平几问题选讲

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1、精品资料————欢迎下载第16讲平几问题选讲平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的位置,本讲将对平几中的一些典型问题的选讲,强化解平几问题的典型思想方法.ADA类例题例1如图,已知正方形ABCD,点E、F分F且BE+DF=EF,试求∠EAF的度数.（1989年全分析留意到BE+DF=EF,很简洁想到“截BEC别在BC、CD上,国冬令营）长补短”的方法．解延长CB到F',使得BF'=DF,连结AFD．∴∠BAF'=∠DAF,AF'=AF．又∵EF'=BE+BF&#039

2、;=BE+DF,AE为公共∴AF'E≌AFE．∴∠EAF'=∠EAF．又∵∠FAF'=∠BAD=90o,∴∠EAF=45o．ADAF'显然AF'B≌F边,F'BEC说明此题AF'B可以看作是ABE.AFD顺时针旋转90o得到的；此题也可以延长CD或旋转链接此题如在EF上截取EH=BE,是很难进行下去的,但我们可以用代数的方法来研究,解法如下：过点A作AHEF于H,由勾股定理得AB2+BE2=AH2+EH2,AD2+DF2=AH2+FH2,两式

3、相减可得BE2-DF2=EH2-FH2,于是〔BE-DF〕〔BE+DF〕=〔EH-FH〕〔EH+FH〕,而BE+DF=EH+FH①所以BE-DF=EH-FH②,由①②可得BE=EH,DF=FH．从而可得AE平分∠BAH,AF平分∠DAH,所以∴∠EAF=45o．EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料————欢迎下载ADFHBEC例2如图,A、B、C、D为直线上四点,且AB=CD,点P为一动点,如∠APB=∠CPD,试求点P的轨迹．（1989年全国中学数学联赛）PABCD分析由于已知的两个条件AB=CD和∠APB=∠CPD,分散在两个

4、三角形中,需要把它们集中,于是可以进行平移或添加帮忙圆建立这两个已知条件间的联系.证法一分别过点A、B作PC、PD的平行线得交点Q.连结PQ.在△QAB和△PCD中,明显EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料————欢迎下载P∠QAB＝∠PCD,∠QBA＝Q由AB=CD,可知△QAB≌△PCD.∠PDC.EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料————欢迎下载有QA＝PC,QB＝PD,∠AQB＝∠CPD.ABCD于是,PQ∥AB,∠APB＝∠AQB.就A、B、P、Q四点共圆,且四边形ABPQ为等腰梯

5、形.故AP＝BQ.所以PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.证法二作△PBC的外接圆交PA、PD分别P为E、F,连结BE、CF,∵∠APB=∠CPD,∴BE=CF,∠ABE=∠EPC=∠BPF=∠EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料————欢迎下载DCF.又∵AB=CD,∴△ABE≌△DCF.∴∠PAB＝∠PDC.∴PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.EFABCDEFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料————欢迎下载说明同样地,也可以作△PAD的外接圆,目的是建立条件AB=

6、CD和∠APB=∠CPD之间的联系.EFIEFNEUGBFNKFMEINGFEJFBNEIFKDNF精品资料————欢迎下载证法三由三角形的面积公式易得PA·PB=PC·PD,PA·PC=PB·PD,两式相乘