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时间：2021-11-22
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1、第五十八讲吉林大学远程教育主讲：杨荣副教授大学文科数学（微积分学）精选1例7解方程经过整理，分离变量后积分，求得上式的通解为解此方程是齐次方程，通过作变换y=ux，将它化为可分离变量方程将代入原方程，得到精选2解将所给方程两端对x求导，得这是一个一阶线性方程，直接利用求线性方程通解公式，可得例8设连续函数y(x)满足方程求此函数y(x).即又从所给方程知y(0)＝1，则得C＝1，故所求函数为精选3解将原方程化为这是一个一阶线性方程，直接利用其求通解公式，可得例9求微分方程ylnxdy＋(y－lnx)dx=0满足条件的特解。由，解出，所以方程的特解是精选4分析所给方程不含
2、未知函数导数，不是微分方程，由于含有变上限积分，常称为积分方程。为了求得f(x)，通常的方法是利用微分法将方程中的变上限积分形式转化掉，变成微分方程，然后通过解微分方程求得f(x)。例10已知f(x)在[0,＋∞)上连续，且满足求f(x).解对所给方程两边关于x求导，得这是可分离变量方程（也是一阶齐次线性方程），为了和习惯上方程表示方法一致，记y＝f(x)，即有精选5分离变量后积分，得所以，即得通解为故所求f(x)为由原方程得初始条件f(0)＝ln2，代入得精选6注：此方程的初始条件并没有明显给出，隐含在方程中，需要自己把它找出来，这也是解微分方程值得学习的技巧。分析两
3、族曲线在交点处的切线都相互垂直，则称这两族曲线中的一组曲线是另一族曲线的正交曲线。求已给曲线族的正交曲线的步骤是：例11求与抛物线族x＝Cy2正交的曲线族。解对方程x=Cy2两边关于x求导，得1.求出已给曲线族满足的微分方程；2.由正交条件，在方程中把换成，得正交曲线族满足的微分方程；3.解微分方程，即得所求正交曲线族。精选7消去C得所给曲线族满足的微分方程解此微分方程得所求正交曲线族为例12已知曲线过点(1，1)，且其上任一点P(x,y)处的切线交y轴于Q，以PQ为直径的圆经过点F(0，1)，求此曲线方程。可见与所给抛物线族正交的曲线族是关于坐标轴对称的椭圆族。将换成
4、，得所求正交曲线族满足的微分方程解设所求曲线方程为y＝f(x)，则过点P(x,y)的切线方程为令X＝0，得切线与y轴交点Q的坐标。设M是中点，则M坐标为。由，得微分方程精选8这是一阶非齐次线性方程，由通解公式得即方程的通解初始条件为y(1)＝1，令z＝y2，则方程变为代入初始条件y(1)＝1，得C＝0。于是所求曲线方程是精选9解设在t时刻物体的温度为u，则由题意建立微分方程例13假定加热后的物体在空气中的冷却速度与问物体和空气的温度差成正比，设比例系数为k，物体加热后的温度是100℃，空气温度是20℃，试求物体温度关于时间的函数。初始条件为t＝0，u＝100，这是可分离
5、变量方程，变量分离后积分得将初始条件代
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