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《近世代数部分课后习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、部分课后习题答案（仅供参考）P3732．充分性显然。必要性：假设不成立，则由e∈GIG知：至少∃a∈G∧a∉G，∃b∈G∧b∉G。121221由a∈GUG，b∈GUG及GUG为子群得：ab∈GUG，从而ab∈G或121212121−1−1ab∈G。若ab∈G，则由a∈G知a(ab)∈G⇒b∈G矛盾；若ab∈G，则211112−1−1由b∈G知(ab)b∈G⇒a∈G矛盾，故假设不成立。2225．−1证明：记S=ϕ(e)，则S={}xϕ(x)=e,x∈G，显然S⊆G22111）S非空：对∀y∈G，由ϕ为满射，
2、则∃x∈G，使得y=ϕ(x)，从而21ϕ(e)∗y=ϕ(e)∗ϕ(x)=ϕ(eox)=ϕ(x)=y，同理有y∗ϕ(e)=ϕ(x)=y，所以：1111ϕ(e)∗y=y∗ϕ(e)=y，则ϕ(e)=e，所以e∈S。111211）封闭性：对∀x,t∈S，有ϕ(x)=e，ϕt)(=e，则ϕ(xot)=ϕ(x)∗ϕt)(=e，222所以xot∈S。2）结合律：显然。3）单位元：e∈S。1−1−14）逆元：对∀x∈S，有ϕ(x)=e，则：e=ϕ(e)=ϕ(xox)=ϕ(x)∗ϕ(x)221−1−1−1−1=e∗ϕ(x)
3、=ϕ(x)，即ϕ(x)=e，所以x∈S。22P3781．证明：显然对∀f∈G，f为双射。1）封闭性：对∀f,g∈G，设f(x)=ax+b，g(x)=cx+d，a≠,0c≠0，则fog(x)=f(g(x))=f(cx+d)=a(cx+d)+b=(ac)x+ad+b，所以fog∈G2）结合律：映射的复合满足结合律。3）单位元：I=xe−11b−14）逆元：显然对∀f∈G，由f为双射，故f可逆，且f(x)=x−，则f∈G。aa4．证明：1）由ϕ的构造知ϕ为双设。+2）同构方程：对∀x,y∈R，ϕ(x×y)=lo
4、g(x×y)=logx+logy=ϕ(x)+ϕ(y)。pppP3843．由(n,r)=1⇒∃k,k∈Z，k⋅n+k⋅r=1（参见我们的讲义关于数论的附件），1212则有：a1=ak1⋅n+k2⋅r=ak1⋅nak2⋅r=eak2⋅r=(ar)k2，即a=(ar)k2，即G的生成元a可rr由a生成，故有：(a)=G。r另外可直接由定义证a的阶为即可。n5．rrkrkn证明：设a的阶为，则k(a)=e，即a=e。又a=e，所以n
5、rk，又(r,n)=d，nrnrn则有：
6、k，而(,)=1，所以
7、k。（此结论参
8、见我们的讲义关于数论的附ddddd件）nnrrr又由(ar)d=ad=(an)d=ed=e得：k
9、n，从而k=nddP3871．证明：设(Go),为六阶群。则对∀x∈G(x≠e)，其阶只能为2，3，6。61）若∃a∈G，且a的阶为6，即a=e，则G=(a)，则由循环群的子群知存在24三阶子群为：S={e,a,a}3122）若∃a∈G，且a的阶为3，即a=e，此时显然有三阶子群为：S={e,a,a}23）若不存在a∈G，使得a的阶为3或6，则对∀a∈G有a=e，从而此时群(Go),为交换群。令A={a,b}
10、，其中a,b∈G且均不为单位元。则(A)={e,a,b,ab}，(
11、A
12、)=/6
13、4矛盾。P3942．证明：设H=AIB，则由定理知H仍为群G的子群，则由拉格朗日定理得：
14、B
15、
16、B=
17、
18、H⋅[
19、B:H]，记j=[B:H]=，则B=HbUHbULUHb，12j
20、H
21、b∈B(i=,.1L,j)其中Hb(i=,1L,j)为互不相同的右陪集。则iiAB=AHbUAHbULUAHb，又AH=A，所以AB=AbUAbULUAb，12j12j又AbIAb=φ，否则，若AbIAb≠φ，则由陪集的性质得：Ab=Ab，从il
22、ilil−1−1−1−1而bb∈A，又bb∈B，所以bb∈AIB，即bb∈H，所以Hb=Hb，ililililil矛盾。因此根据容斥原理有：
23、AB=
24、
25、Ab
26、+
27、Ab
28、+L+
29、Ab
30、=j⋅
31、A
32、12j
33、B
34、
35、A
36、
37、B
38、即
39、AB
40、=⋅
41、A
42、=
43、H
44、
45、AIB
46、3．证明：由前面的习题结论知六阶群中一定有三阶子群，假设不惟一，设A,B为六阶群G两个不同的三阶子群。不妨设A={e,a,b}，B={e,c,d}，则AIB={e}。
47、A
48、
49、B
50、从而
51、AB
52、==9>6矛盾。
53、AIB
54、4．证明：设H为群G的子群，且有[G:
55、H]=2，则其左陪集构成的划分为：H,aH(a∉H)，其右陪集构成的划分为：H,Ha(a∉H)，从而aH=GHHa=GH，所以aH=Ha。5．证明：设H,H为群G的两个正规子群，记H=HIH。则对∀a∈G,h∈H，1212−1−1由H,H为群G的两个正规子群得：aha∈H，aha∈H，所以1212−1−1aha∈HIH，即aha∈H，故H是G的正规子群。126．证明：对∀a,b∈NH，则∃n,n,h,h∈NH,使得a=nh
