经济应用数学基础（一）-微积分-课后习题答案_高

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1、第一章函数习题一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：２（１）（x－２）＞９；　　　　　（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．２解　（１）由（x－２）＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或x－２＜－３由此得x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此

2、，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．1（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：２（１）y＝x与y＝x；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；２２（３）y＝１与y＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（４

3、）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；２（５）y＝ｌｎ（x－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；２（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．２解　（１）因y＝x＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为Df＝［－２，１］，故此二函数相同．２２（３）因ｓｉｎx＋ｃｏｓx≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．２（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓx＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因２y＝ｌｎ（x

4、－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为Df＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为Df＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因２y＝ｌｎ（１０－３x－x）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为Df＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：２（１）y＝x＋x－２；　　　　　　　　（２）y＝ｓｉｎ（x）；２２１x－９x（２）y＝９－x＋；（４）y＝ｌｎ；ｌｎ（１－x）１０１x＋１０（x－１）（x－３）（５）y＝；（６）y＝．x－３x－１０x－３解　（１）

5、使该函数有定义的x应满足条件：２x＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为Df＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：2x≥０　且ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为∞２２Df＝∪［（２kπ），（２k＋１）π］．k＝０（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：２９－x≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为Df＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：２x－９x≥

6、１１０２由此得x－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为Df＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x＋１０x－３≠０，　x－１０≠０，　≥０x－１０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为Df＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：（x－１）（x－２）x－３≠０，　≥０x－３即（x－１）（x－２）≥０　且x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为Df＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数２q

7、－x，｜x｜≤３f（x）＝２x－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３，　　　3２f（±３）＝９－（±３）＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以２f（±４）＝（±４）－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，２f（２＋a）＝q－（２＋a）＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，２f（２＋a）＝（２＋a）－９＝（a－１）（a＋５）（１－a）（５＋a），－５≤a≤１所以f（２＋a）＝（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：２｜

8、x｜（１）y＝１＋６x－x；　　　　　　（２）y＝ｅ．解　（１）易