华理高数全部复习资料之 极限

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1、第2章导数与极限内容提要（一）极限1.概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义），，当时，有。（2）单侧极限左极限：，，当时，有。右极限：，，当时，有。（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：，当，成立，则称常数为函数在趋于无穷时的极限，记为。为曲线的水平渐近线。定义2：，当时，成立，则有。定义3：，当时，成立，则有。运算法则：1)若，，则。2)若，，则。3)若，则。注：上述记号是指同一变化过程。（4）无穷小的定义，，当时，有，则称函数在时的无穷小（量），即。（5）无穷大的定义，，当时，有，则称函

2、数在时的无穷大（量），记为。直线为曲线的垂直渐近线。2．无穷小的性质定理1有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。无穷小与无穷大的关系若，且不取零值，则是时的无穷小。3．极限存在的判别法（1）。。（2），其中是时的无穷小。（3）夹逼准则：设在点的某个去心邻域内有，且已知和，则必有。4．极限的性质（1）极限的唯一性若且，则。（2）局部有界性若，则，在点的某个去心邻域内有。（3）局部保号性（I）若，且（或），则必存

3、在的某个去心邻域，当时，有（或）。（II）若在点的某个去心邻域内有（或），且，则（或）。5．极限的四则运算与复合运算设是常数，则（1）（2）（3）（4）（5）则.6．两个重要极限（1）；（2）或。7．无穷小的阶的比较若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则（1）若，则称关于是高阶无穷小量，记作；（2）若，则称和是等价无穷小量，记作；（3）若，则称和是同阶无穷小量，记作；一般情况下，若存在常数，，使成立，就称和是同阶无穷小量。（4）若以作为时的基本无穷小量，则当（为某一正数）时，称是阶无穷小量。定理1。

4、定理2设，，且存在，则。常用的等价无穷小时，，。（二）函数的连续性1．定义若函数在点的某个邻域内有定义，则在点处连续。2．连续函数的运算连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数。3．间断点（1）间断点的概念不连续的点即为间断点。（2）间断点的条件若点满足下述三个条件之一，则为间断点：（a）在没有定义；（b）不存在；（c）在有定义，也存在，但。（3）间断点的分类：（i）第一类间断点：在间断点处左右极限存在。它又可分为下述两

5、类：可去间断点：在间断点处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点处左右极限存在但不相等；（ii）第二类间断点：在间断点处的左右极限至少有一个不存在。4．闭区间上连续函数的性质（1）概念若函数在区间上每一点都连续，在点右连续，在点左连续，则称在区间上连续。（2）几个定理最值定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有最大和最小值。有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有界。介值定理：如果函数在闭区间上连续，则对介于和之间的任一值，必有，使得。零点定理：设函数在闭区间上连续，若，则必有，使得。（

6、三）导数1．导数的概念（1）定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量，若极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数（或微商），记作。导数定义的等价形式有。（2）左、右导数左导数右导数存在。2．导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，从而曲线在点处的切线方程为法线方程为3．函数的可导性与连续性之间的关系函数在点处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此，若函数点处不连续，则点处必

7、不可导。4．求导法则与求导公式（1）四则运算若均为可导函数，则，，，（其中为常数），，（）。（2）复合函数求导设，，且和都可导，则复合函数的导数为。（3）反函数的导数若是的反函数，则。（4）隐函数的导数由一个方程所确定的隐函数的求导法，就是先将方程两边分别对求导，再求出即可。（5）对数求导法先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。（6）参数方程的导数若参数方程确定了一个函数，且均可导，则有。（7）基本初等函数的导数公式（，）（，）5．高阶导数（1）高阶导数的概念：函数的

8、一阶导数的导数称为的二阶导数，的二阶导数的导数称为的三阶导数，……，的阶导数的导数称为的阶导数，分别记为，或。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。（2）常用的阶导数公式，，，，。（3）莱布尼茨公式设和都是次可微函数，则有。复习指导：第2章导数与极限复习指导重点：求函数的极限、连续、导数。难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。1．求极限的方法：（1）利用定义（语言）证明。（2）利用极限的四则运算法则