逻辑运算定理

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1、3.3  逻辑运算定理    3.3.1  逻辑函数相等    有两个逻辑函数F和G，如果对于F和G的每一种取值组合，对应的输出都相同，我们说这两个逻辑函数相等，记作F=G。    由逻辑函数相等的概念，可以得到下面的推论：    如果F=G,则F和G对应的真值表完全相同；反过来，如果两个逻辑函数的真值表完全相同，则F=G.    例3.3.1  证明 A+AB=A+B    解：根据题意，列出真值表如表3.3.1所示。表3.3.1例3.3.1的真值表A     BA+ABA+B0     0000     1111     0111     111    由表3.3.1可以看出，对

2、于A+AB和A+B两个逻辑函数的每一种取值组合，它们的输出完全相同。    所以，A+AB=A+B    逻辑函数相等的概念是逻辑函数运算、化简和变换的基础。我们介绍的定理、公式都可以利用逻辑函数相等的概念加以证明。    3.3.2  逻辑运算公理    常用的逻辑运算公理如表3.3.2所示表3.3.2常用逻辑运算公理原等式对偶式0·0=01+1=10·1=1·0=01+0=0+1=11·1=10+0=0若A≠0，则A=1若A≠1,则A=0    3.3.3  逻辑运算定理    常用的逻辑运算定理如表3.3.3所示表3.3.3常用逻辑运算定理逻辑运算定理原等式对偶式交换律A·B=

3、B·AA+B=B+A结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)自等律A·1=AA+0=A0-1律A·0=0A+1=1互补律A·A=0A+A=1重叠律A·A=AA+A=A吸收律A+AB=AA·(A+B)=A非非律反演律（摩根定律）   3.3.4  常用公式    逻辑运算的公式有许多，在表3.3.4中列出了五个常用公式，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。表3.3.4常用公式项目常用公式推论与证明1无2A+AB=AA+AB+ABC+…=A3A+AB=A+AB+AB=A+B4AB+AC+B

4、C   =AB+AC+(A+A)CB   =AB+AC+ABC+ABC   =AB+AC         5AB+AC=(A+C)(A+B)(A+C)(A+B)=AB+AC+BC+AA=AB+AC           注：公式1、2为吸收律和分配律的应用，公式3为多余因子定律，公式4为多余项定律，公式5为与或和或与转换定律。    3.3.5  逻辑代数的三个基本规则    1.代入规则    若两个逻辑函数相等，即F=G，且F和G中都存在变量A，如果将所有出现变量A的地方都用一个逻辑函数L代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。    因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样

5、，只有两种可能的取值(0和1)，所以代入规则是正确的。    有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围