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时间:2021-11-26
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1、3 逻辑代数LogicAlgebra 逻辑代数亦称为布尔代数,其基本思想是英国数学家布尔(G.Boole)于1854年提出的。1938年,香农把逻辑代数用于开关和继电器网络的分析、化简,率先将逻辑代数用于解决实际问题。经过几十年的发展,逻辑代数已成为分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。由于逻辑代数可以使用二值函数进行逻辑运算,一些用语言描述显得十分复杂的逻辑命题,使用数学语言后,就变成了简单的代数式。逻辑电路中的一个命题,不仅包含“肯定”和“否定”两重含义,而且包含条件与结果的多种组合,用真值表则一目了然,用代数式表达就更为简明。逻辑代数有一系列的定律和规则,用它们对
2、逻辑表达式进行处理,可以完成电路的化简、变换、分析和设计。3.1 基本逻辑关系 3.1.1 基本概念 1.逻辑常量与变量:逻辑常量只有两个,即0和1,用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样,也可以用字母、符号、数字及其组合来表示,但它们之间有着本质区别,因为逻辑变量的取值只有两个,即0和1,而没有中间值。 2.逻辑运算:在逻辑代数中,有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种,如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。 3.逻辑函数:逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式。同样,逻辑函数也可以用表格和图形的形式表
3、示。 4.逻辑代数:逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统。逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础,也是数字电路分析和设计的关键。 3.1.2 三种基本逻辑运算 1.与运算 图3.1.1(a)表示一个简单与逻辑的电路,电压V通过开关A和B向灯泡L供电,只有A和B同时接通时,灯泡L才亮。A和B中只要有一个不接通或二者均不接通时,则灯泡L不亮,其真值表如图3.1.1(b)。因此,从这个电路可总结与运算逻辑关系。 语句描述:只有当一件事情(灯L亮)的几个条件(开关A与B都接通)全部具备之后,这件事情才会发生。这种关系称与运算。 逻辑表达式:
4、 L=A·B式中小圆点“·”表示A、B的与运算,又称逻辑乘。在不致引起混淆的前提下,乘号“·”被省略。某些文献中,也有用符号∧、∩表示与运算的。 真值表:如果开关不通和灯不亮均用0表示,而开关接通和灯亮均用1表示,得到如图3.1.1(c)所示的真值表描述。真值表的左边列出为所有变量的全部取值组合,右边列出的是对应于A,B变量的每种取值组合的输出。因为输入变
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