《中考课件初中数学总复习资料》专题45：第8章几何中的最值问题之四边形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

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1、45第8章几何中的最值问题之四边形的面积一、单选题1．如图，等边△ABC 的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为．其中，正确结论的序号（　　）A．①④B．②④C．①③D．②③【答案】D【分析】根据图象法可判断①；②当∠ADQ=∠CPB时，△AQD与△BCP相似；③设AQ=x，则四边形的面积=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP，当x取最大值时可

2、得结论；④如图，作点D关于AB的对称点D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，连接CF交AB于点P’，此时四边形P’CD’Q’的周长最小，求出CF的长即可判断.【解答】①利用图象法可得PC＞DQ，故①错误；②∵∠A=∠B=60°，∴当∠ADQ=∠CPB时，△AQD与△BCP相似，故②正确；③设AQ=x，则S四边形PCDQ=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP=，∵x的最大值为，∴四边形PCDQ面积的最大值为，故③正确；④如图，作点D关于AB的对称点D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，连接CF交

3、AB于点P’，此时四边形P’CD’Q’的周长最小，过点C作CH⊥D’F交D’F的延长线于H，交AB于J，由题意可得，DD’=2AD·sin60°=，,，∴，∴，∴，∴四边形P’CD’Q’的周长最小最值=，故④错误.故选D.【点评】本题主要考查相似三角形的判断与性质，锐角三角函数，轴对称最短路径问题等，综合性较强，属于中考常考题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.二、填空题2．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD的面积最大

4、，最大值为__________．【答案】512.5【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为，则，进而求出，再求出最值即可．【解答】解：设，四边形ABCD面积为S，则，则：，∵，∴S有最大值，当时，四边形ABCD的面积最大，即当时，四边形ABCD面积最大，，故答案为：5，12.5．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．3．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面

5、积为_____．【答案】4．【分析】连接BO并延长交AC于E，交于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】连接BO并延长交AC于E，交于D，连接AD、CD，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∴，∴OE⊥AC，点D为的中点，此时点D到AC的距离最大，∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝2，由勾股定理得，AB＝＝2，∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大

6、面积＝×2×2×2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键．4．已知AB为半