振动物理力学答案

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1、第九章振动思考题9.1什么叫作简谐振动？如某物理量的变化规律满足，、、均为常数，能否说作简谐振动？答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：若物体相对平衡位置的位移（角位移）满足动力学方程，且由振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；若物体相对平衡位置的位移（角位移）满足运动学方程，且由振动系统本身性质决定，、由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。以和分别表示时物体的初始位移和初始速度，则式中；可由、和三式中的任意两个来决定。上述运动学方程是动力学方程（微分方程

2、）的解，、是求解时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。如某物理量的变化规律满足，、、均为常数，不能说作简谐振动。因为常数必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且、是由系统初始条件决定的常数时，才可以说作简谐振动。9.2如果单摆的摆角很大，以致不能认为，为什么它的摆动不是简谐振动？答：对质量为m的摆球，当摆角很大时，，其切向力，不是角位移的线性回复力。由牛顿定律得：即令，有因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。9.3在宇宙飞船中，你如何测量一物

3、体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧。答：将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子，用手表测出一定时间内的振动次数N，确定振动频率，从而确定；又，则可间接测量出物体的质量：（质量在太空中不变）。9.4将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？答：设弹簧原长，质量m不变，竖直放置弹簧振子，平衡时，弹簧伸长，则F。由胡克定律，对比可得其劲度系数。当弹簧剪掉一半时，，即。设原弹簧振子频率为，剪后为，则所以，频率增大为原来的倍。9.5将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？答：由可知，当有乘客时，。所以，当有乘客时，其固

4、有频率会减小。9.6一弹簧振子（如图9.1）可不考虑弹簧质量。弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。现给你一根米尺，又允许你把滑块取下来，还可以把弹簧摘下来，你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率？答：（1）用米尺量出振子尺寸，计算体积，由材料密度可计算出振子质量m；（2）测出弹簧原长，竖直放置弹簧振子，挂物后平衡时测出弹簧长度，计算出弹簧伸长量。在平衡位置，，即可确定劲度系数；（3）计算出固有频率。9.7两互相垂直的简谐振动的运动学方程为，。若质点同时参与上述二振动，且，质点将沿什么样的轨道怎样运动？答：合振动的轨道方程为：。轨道为以和为轴的椭圆。由于，故方向的振动

5、比方向的振动超前，质点沿椭圆顺时针方向运动。9.8“受迫振动达到稳态时，其运动学方程可写作，其中和由初条件决定，即策动力的频率。”这句话对不对？答：不对。和并非由初条件决定，而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。9.9“策动力与固有频率相等，则发生共振。”这句话是否准确？答：不准确。共振有位移共振和速度共振之分。常说的位移共振条件为，即位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率；仅当无阻尼或阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率，但这时振幅将趋于无限大。而速度共振的条件是，即策动力的频率等于振动系统的固有频率。习题9.2.1一刚体可绕水平轴摆动。已知

6、刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：设刚体静止时，沿竖直方向，振动系统处于平衡位置。若将刚体偏离平衡位置，使与竖直方向夹一小角，然后将刚体由静止释放，刚体就围绕平衡位置作微小摆动。以表示的角坐标或相对于平衡位置的角位移，以表示重力矩，则（因很小，）重力矩与角位移成线性关系，并与角位移符号相反，为线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的微小摆动是简谐振动。由转动定律得：令，则所以，刚体简谐振动的固有频率。9.2.2轻弹簧与物体的连接如图所示，

7、物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：设物m处于平衡位置时，弹簧伸长；弹簧伸长，则。取平衡位置为坐标原点O，建立O—X坐标系。当物m受扰动向X轴正向位移时，物m受力：所以，F由牛顿定律F得令，则弹簧的振动微分方程可表示为：所以，固有频率。9.2.3一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1，若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？解：弹簧振子的频率：若使串弹簧振子的频率：故串后的等效劲度系数为时，可满足要求。取振子m静止时（