高中数学-递推数列经典题型全面解析

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1、5递推数列经典题型全面解析类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知，，求。5。类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,

2、所以.变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．类型4（其中p，q均为常数，）。（,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。5解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足例数列：，，求数列的通项公式。由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。类型6递推公式为与的关系式。(或)解：这种类型一般利用与消去

3、或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.5解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得5说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.