典例剖析(第二课时)

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1、［例1］利用单位圆中的三角函数线：（1）证明当0＜x＜时tanx＞x，（2）解方程tanx＝x，（－＜x＜）．选题意图：考查数形结合的思想方法.图4—24（1）证明：如图4—24，x＝AP，角x的正切线为AT即tanx＝AＴ由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△ＯAＴ即∴x＜tanx（0＜x＜）又由于y＝x与y＝tanx为奇函数图4—25当0＜x＜时，x＜tanx（2）解：由（1）结论，得∴当－＜x＜0时x＞tanx又x＝0是方程x＝tanx的解.因此方程x＝tanx在（－，）内有惟一解即x＝0.说明：通过证明当0＜x＜时，tanx＞x，我们可以看清楚y＝x与y

2、＝tanx两函数图象间的位置关系.［例2］已知f(x)=tanx，对于x1，x2∈（0，）且x1≠x2.试证选题意图：考查三角关系式的变形能力，通过对不等式的证明，进一步明确函数f(x)=tanx图象的形状.证明：∵0＜x1＜0＜x2＜∴－＜x1－x2＜且x1≠x2∴cos（x1－x2）＜1即1＋cos（x1＋x2）＞2cosx1cosx2说明：通过本题的证明可知函数y＝tanx的图象，当x∈（0，）时是下凸的，同样可以证明函数y＝tanx的图象当x∈（－，0）时是上凸的.［例3］求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］

3、内的图象.选题意图：考查函数y＝Atan（ωx＋φ）的性质及图象的作法.解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z即x≠＋，ｋ∈Z∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x∴y＝tan2x的周期为．图4—26（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图4—26.说明：类似于y＝sinx与y＝Asin（ωx＋φ）图象间的关

4、系，可以通过图象变换，由函数y＝tanx的图象得到函数y＝Atan（ωx＋φ）的图象.