信息安全数学 群

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1、信息安全数学基础许春香编著第二章群第二章群2.1群的定义（重要）2.2子群（掌握）2.３同构和同态（重要）2.４变换群与置换群（掌握）2.1群的定义设G是一非空集合．如果在G上定义了一个代数运算，称为乘法，记为ab，而且这个运算满足下列条件，那么G称为一个群：1）G对于乘法是封闭，即对于G中任意元素a，b，有abG；2）对于G中任意元素a，b，c，有a(bc)=(ab)c；3）在G中有一个元素e，对于G中任意元素a，有ea=a；4）对于G中任一元素a都存在G中的一个元素b，使ba=e．群的定义群的定义可以简单的归结为带有运算的集合，在集

2、合上的运算满足1）封闭性；2）结合性；3）单位元；4）逆元；群的定义整数对于加法构成了整数加法群，由我们初等代数的知识知，任意两个整数相加仍然是整数（封闭性），且满足加法结合性，其单位元为0，即任意整数加0均为自身，任意整数a的逆元为-a全体整数Z，全体实数R，全体复数C对于加法是群全体非零实数R=R{0}对于乘法是群同样有非零有理数，非零复数对乘法也构成了群分别记作（Z，+），（Q，+）（R，+），（C，+）（Q，·）（R，·）（C，·）其中Q表示非零有理数集，R表示非零实数，C非零复数这类群称为数群群的定义关于群的几点说明：群的定义

3、有多种描述可以参考近世代数书籍，本定义2.1.1只给出了一种定义中的“乘法”并不代表具体的乘法，而是抽象的乘法——代表一种代数运算群的定义补充群的定义自然数集合N＝{1，2，3，．．．}对于通常的加法封闭且满足结合律，但不存在左单位元和左逆元，因此对于加法不是群．而只是半群整数Z对乘法也只是半群，即只满足封闭性和结合性群的定义集合{0，1}对于模2加法“”（或称异或）是一个群．显然封闭性和结合律满足；这里的单位元e=0，因为00＝0，01＝1；每一个元素的左逆元就是它自己：00＝0，11＝0．{0，1}对于运算是加法群．群的定

4、义集合的元素不一定是数，我们举一个集合元素为二阶方阵的例子：该集合对于矩阵的普通乘法是一个群，单位元是群的定义考虑二阶矩阵集合，其中a，b，c，d为整数，，则该集合对于普通矩阵乘法构成群：1）封闭性：两个矩阵A和B相乘仍然是整数二阶矩阵，而且AB＝AB=1；2）结合律显然满足；3）单位矩阵是单位元；4）任意元素的左逆元为．实际上任意阶整数方阵当其行列式等于±1时对于矩阵的普通乘法都构成群。集合元素可以是任意事物，其中的运算也可以是任意定义的．群的定义如果群中的运算满足交换律，则这个群称为交换群或阿贝尔（Abel）群比如：（Z，+），（Q，

5、+）（R，+），（C，+），（Q，·）（R，·）（C，·）都是（Abel）群群的基本性质1）左逆元同时也是右逆元，即对于a，bG，如果ba=e，则ab=e．2）左单位元同时也是右单位元，即如果对于所有aG有ea=a，则对于所有aG也有ae=a．3）单位元是唯一的．4）逆元是唯一的．群的基本性质（证明）证明设G是一个群，e是G中的左单位元．1）aG，设其左逆元为b，即ba=e；又设b的左逆元为b’，即b’b=e．于是(b’b)(ab)=e(ab)=(ea)b=ab；但我们又有(b’b)(ab)＝b’[(ba)b]=b’(eb)=b

6、’b=e，所以我们得到ab=e，即b也是a的右逆元．左逆元同时也是右逆元群的基本性质（证明）证明设G是一个群，e是G中的左单位元．2）aG，设其左（右）逆元为b．则(ab)a=ea=a；又(ab)a=a(ba)=ae；所以ae=a，故左单位元也是右单位元．左单位元同时也是右单位元群的基本性质（证明）证明设G是一个群，e是G中的左单位元．3）如果G中存在另一单位元e’，我们有e=ee’=e’，则单位元是唯一的单位元是唯一的群的基本性质（证明）证明设G是一个群，e是G中的左单位元．4）aG，设b，c都是a的逆元，则b=be=b(ac)

7、=(ba)c=ec=c，则每个元素的逆元是唯一的．逆元是唯一的群的阶、元素的阶定义2.1.3如果一个群G中元素的个数是无限多个，则称G是无限群；如果G中的元素个数是有限多个，则称G是有限群，G中元素的个数称为群的阶，记为G．的模2加法群，阶为2，例2.1.4的群阶为4群的阶、元素的幂由于群里结合律是满足的，所以元素连乘a1a2…an有意义，它也是G中的一个元．我们把a的n次连乘记为an，称为a的n次幂（或称乘方），即．我们还将a的逆元a1的n次幂记为an，即群的逆元（a1）1=a群的阶、元素的幂若ab=ba，则（ab）n=anbn

8、另外：anan=e，aman=am+n，(an)m=anm群的等价性质一个群的乘法满足消去律：如果ax=ax’，则x=x’；（左消去）如果ya=y’a，则y=y’．（右消去）证明假定ax=a