小波变换与小波滤波

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1、小波变换与小波滤波21.1小波变换的由来基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。傅立叶变换3JosephFourier4FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震信号典型的地震记录1.1小波变换的由来5实际采集的地震信号它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息6如何完成只分析数据中的一小部分?1.1小波变换的由来71.2短

2、时傅立叶变换（STFT）基本思想：给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信号进行变换，因此反映了信号的局部特征。81.2短时傅立叶变换（STFT）缺陷：其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，保持固定不变，对于分析时变信号不利！（高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。）STFT无能为力了！不能构成正交基，给数值计算带来不便。9小波信号隆重登场登场原因：（1）继承和发展了STFT的局部化思想。（2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的缺点。10正交基的解释若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。大小

3、和颜色是互不相干的2种描述，我们称其为正交。同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称其为完备特征基。因为特征基表现了物体特征，因而可以用更简洁的描述表示物体。11小波变换的提出1984年法国的年轻的地球物理学家JeanMorlet在进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国理论物理学家A.Grossman一起提出了小波变换(wavelettransform,WT)的概念121.3小波变换定义及特点小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集（2）正负交替的“波动性”，也即直流分量为零131.3小波变换定义及特

4、点141.3小波变换定义及特点傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。15连续小波变换（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。1.4连续

5、小波变换CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（position）的函数。16基本小波函数ψ()的缩放和平移操作(1)缩放。就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄小波的缩放操作17(2)平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，小波的平移操作(a)小波函数ψ(t)；(b)位移后的小波函数ψ(t-k)基本小波函数ψ()的缩放和平移操作18小波变换的步骤:一取一个小波与信号的最前面部分比较;二计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性即:C越大,两者越相似;1.5小波变换的步骤19三移动小波,重复步骤一和二,

6、一直遍历整个数据;四对小波进行缩放,重复步骤一到三;五在所有小波尺度下,重复上述步骤.1.5小波变换的步骤201.5小波变换的步骤21小波尺度和信号频率的关系小尺度信号的高频大尺度信号的低频1.5小波变换的步骤22在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。1.6离散小波变换（DWT）如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。23使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（DyadicWaveletTransform），它是

7、离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一种形式。1.6离散小波变换（DWT）通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。24执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法(马拉)。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双通道子带编码。1.6离散小波变换（DWT）25一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似