赋值法在抽象函数中的应用

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1、赋值法在抽象函数中的应用我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。一、判断函数的奇偶性例1.若对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。解：令则有，故有令，则有，故有，又因为不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。例2.已知函数为非零函数，若有，试判断函数的奇偶性。解：令，则有，故有令，则有，故有令，则有，且为非零函数，所以函数是偶函数。二、判断函数的单调性例3.函数，当时，

2、，且对任何实数x，y恒有，试判断函数的单调性。解：令，则有，故有又有当时，，当时，，故有，而，故有。又当x＝0时，，故对于任何，有。令，故所以函数是减函数。三、判断函数的周期性例4.函数，对任何实数a、b恒有，且存在常数，使，求证：为周期函数。证明：令，则即又所以函数是周期函数，最小正周期为2c。四、求函数的解析式例5.设x≠0，函数满足，求函数的解析式。解：由题意知用x换代入上式得：则①×2－②得：所以五、求函数的值域例6.函数为增函数，且满足，求函数的值域。解：令，则有。①当时，不妨令，则有故当。②当时，有有故当时，有所以当时函数的值域为R。［练一练］若对常数m和

3、实数，等式恒成立，求证：函数是周期函数。提示：，。