二次函数周长最小问题

《二次函数周长最小问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、周长最小问题基本解题方法：1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）．（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．OABxy-6-93解：（1）依题意有即2分∴4分∴抛物线的解析式为：y＝x2－4x－65分（2）把y＝x2－4x－6配方，得y＝(x－2)2－10∴对称轴方程为x＝27分顶点坐标（2，－10）10分（3）由点P（m，m）在抛物线上

2、得m＝m2－4m－612分即m2－5m－6＝0∴m1＝6或m2＝－1（舍去）13分∴P（6，6）∵点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x＝2对称∴Q（－2，6）15分（4）连接AP、AQ，直线AP与对称轴x＝2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得△QMA的周长最小17分OABxy-6-93PQM设直线AP的解析式为y＝kx＋b则∴∴直线AP的解析式为：y＝2x－618分设点M（2，n）则有n＝2×2－6＝－219分此时点M（2，－2）能够使得△QMA的周长最小20分2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物

3、线y＝ax2－x＋c（a≠0）经过点A、C，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P是抛物线上一点，且△ABP为直角三角形，求点P的坐标；yBOACDx（3）在直线AC上是否存在点Q，使得△QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）∵直线y＝－x－与x轴交于点A，与y轴交于C∴A（－1，0），C（0，－）∵点A，C都在抛物线上∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－x－＝(x－1)2－∴顶点D的坐标为（1，－）（2）令x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3∴B（3，0）∴AB2＝(1＋3)2＝16，AC2＝12＋()2＝4，BC2＝

4、32＋()2＝12∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形∴P1（0，－）yBOACDxB′QH由抛物线的对称性可知P2的纵坐标为－，代入抛物线的解析式求得：P2（2，－）（3）存在．延长BC到点B′，使B′C＝BC，连接B′D交直线AC于点Q，则Q点就是所求的点过点B′作B′H⊥x轴于H在Rt△BOC中，∵BC＝＝，∴BC＝2OC∴∠OBC＝30°∴B′H＝BB′＝BC＝，BH＝B′H＝6，∴OH＝3∴B′（－3，－）设直线B′D的解析式为y＝kx＋b，则：解得联立解得∴Q（，－）故在直线AC上存在点Q，使得△QBD的周长最小，Q点的坐标为（，－）3.在平面直角坐标系中，矩

5、形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．OABxyCDOABxyCDED′（备用图）解：（Ⅰ）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DEOABxyCDED′图1E′若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连接CE′、DE′、D′E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE可知△CDE的周长最小∵在矩形

6、OACB中，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，∴＝∴OE＝·BC＝×3＝1∴点E的坐标为（1，0）6分OABxyCDED′图2FG（Ⅱ）如图2，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截取EF＝2，则四边形GEFC为平行四边形，得GE＝CF又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，∴＝∴OE＝·BG＝·(BC－CG)＝×1＝∴OF＝OE＋EF＝＋2＝∴点E的坐标为（，0），点

7、F的坐标为（，0）10分3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；CBAOEFxyDG（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．解：（1）由题意，