李雅普诺夫函数

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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunovfunction）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大李雅普诺夫（AleksandrMikhailovichLyapunov）。李雅普诺夫函数在稳定性理论及掌握理论中相当重要。若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在

2、动态系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在查找一个系统平衡点四周的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而查找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trialanderror）来查找李雅普诺夫函数。名目[隐蔽]·1李雅普诺夫候选函数的定义·2系统平衡点的转换·3自治系统的基本李雅普诺夫定理o3.1稳定平衡点o3.2局部渐近稳定平衡点o3.3全域渐近稳定平衡点·4参见·5参考资料·6外部链接李雅普诺夫候选函数的定义[编辑]令·

3、为标量函数。若要为李雅普诺夫候选函数，函数需为局部正定函数，亦即··其中是的邻域。系统平衡点的转换[编辑]令··第3页共3页本文格式为Word版，下载可任意编辑为一个自治（autonomous）的动态系统，其平衡点为:·可利用的坐标转换，使得··在新的系统中，其平衡点为原点。若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。自治系统的基本李雅普诺夫定理[编辑]·主条目：李雅普诺夫稳定性令·为以下自治系统的平衡点·且令·为李雅普诺夫候选函数的时间导数。稳定平衡点[编辑]若在平衡点的邻域，李雅普诺夫

4、候选函数为正定，且其时间导数半负定：·则此平衡点为一稳定的平衡点。局部渐近稳定平衡点[编辑]若在平衡点的邻域，李雅普诺夫候选函数为正定，且其时间导数为负定：·则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。全域渐近稳定平衡点[编辑]若李雅普诺夫候选函数为全域正定，其时间导数为全域负定：·且满意以下的条件（称为"径向无界'radiallyunbounded）：·.则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。参见[编辑]·常微分方程·掌握李雅普诺夫函数参考资料[编辑]·MathWorld上LyapunovFunction的资料，：埃里克韦斯坦因。第3页共3页本文格式为Word版，下载

5、可任意编辑·Khalil,H.K.Nonlinearsystems.PrenticeHallUpperSaddleRiver,NJ.1996.·本条目含有来自PlanetMath《Liapunovfunction》的材料，版权遵守乃遵守学问共享协议：署名-相同方式共享协议。·李雅普诺夫稳定性的理论可延长到很多领域，尤其是随机微扰的非线性系统:S.P.MeynandR.L.Tweedie.MarkovChainsandStochasticStability.London:Springer-Verlag,1993.ISBN0-387-19832-6.online:

6、l.Secondeditiontoappear,CambridgeUniversityPress,2021.外部链接[编辑]·Example利用李雅普诺夫函数判别常微分方程平衡点稳定性的一些例子·SomeLyaponovdiagrams第3页共3页